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2019年高考数学艺术生百日冲刺专题12椭圆测试题 含答案解析

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  • 上传时间:2019-07-22
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    • 1、专题12椭圆测试题【高频考点】本知识涉及椭圆的定义,标准方程以及简单的几何性质的应用,直线与椭圆的位置关系。【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一,涉及客观题和解答题,客观题主要考查椭圆方程的求解,椭圆的几何性质等,难度中等,在解答题中多以椭圆为载体,考查直线与椭圆的位置关系 ,定值定点,以及最值问题,常常以探索性问题形式出现,难度较大。【重点推荐】基础卷第11题,数学文化题,第22题考察与不等式的交汇,考察综合解决问题的能力。一 选择题1. 方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围为()A(1,+)B(,1C(0,1)D(1,0)【答案】C【解析】:方程表示焦点在x轴上的椭圆,可得m(0,1)故选:C2. 设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A2B2C2D4【答案】:C【解析】椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2 故选:C3. 设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆上的点,且|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10,则椭圆的短轴长为()A6B8C9D10【答案】:A

      2、【解析】设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆上的点,且|F1F2|=8,可得c=4,|PF1|+|PF2|=10,可得a=5,则椭圆的短轴长为:2b=2=6故选:A4. (2018大连二模)设椭圆的左焦点为F,直线l:y=kx(k0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是()A2BC4D【答案】:C【解析】如图,设F2是椭圆的右焦点,O点为AB的中点,丨OF丨=丨OF2丨,则四边形AFBF2是平行四边形,AF=BF2|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4,故选:C5若点F1,F2为椭圆的焦点,P为椭圆上的点,满足F1PF2=90,则F1PF2的面积为()A1B2CD4【答案】:A6. (2018齐齐哈尔二模)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,短轴长大于2,则该椭圆的长轴长的取值范围是() A(2,+)B(4,+)C(2,4)D(4,8)【答案】:B【解析】根据题意,椭圆+=1(ab0)的离心率为,即e=,则c=a,又由椭圆短轴长大于2,即2b2,则b1,则有a2c2=b21,即1,解可得a2,则该椭圆的长轴长2a4,即该椭圆的长轴长的范围为(4,+);故选

      3、:B7. (2018大连二模)设椭圆的左焦点为F,直线l:y=kx(k0)与椭圆C交于A,B两点,则AFB周长的取值范围是()A(2,4)BC(6,8)D(8,12)【答案】:C【解析】椭圆的左焦点为F(,0),右焦点F2(,0),直线l:y=kx(k0)与椭圆C交于A,B两点,连结BF2,则AF=BF2,AB=2OB,由一的定义可知:BF+BF2=2a=4,OB(1,2),则AFB周长的取值范围是(6,8)故选:C 15. 设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为【答案】:【解析】由圆的方程可知,圆心C(1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y ),AQ的垂直平分线交CQ于M,|MA|=|MQ| 又|MQ|+|MC|=半径5,|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,b=,故椭圆方程为 +=1,即 +=1故答案为:16(2018西宁二模)已知椭圆C:=1,F1,F2是该椭圆的左右焦点,点A(4,1),P是椭圆上的一

      4、个动点,当APF1的周长取最大值时,APF1的面积为【答案】:【解析】:如图所示,由椭圆C=1可得a=5,右焦点F2(4,0)|F1F2|=8|PF1|+|PF2|=2a=10,|PF1|+|PA|=10|PF2|+|PA|10+|AF2|APF1的周长取最大值时,三点P、A、F2共线,且点P在第四象限,此时F1F2AP,|PF2|=,APF1的面积S=|F1F2|PA|=故答案为:三.解答题17. 已知椭圆的离心率为,其中左焦点F(-2,0).(1) 求椭圆C的方程;(2) 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m的值. 【解析】:(1) 由题意,得解得椭圆C的方程为.5分(2) 设点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),由消y得,3x2+4mx+2m2-8=0,=96-8m20,-2m2.8分.点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,.10分18. (2018广陵区校级四模)已知椭圆C:(ab0)的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y3垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点(1)

      5、求椭圆C的方程;(2)若M,N分别为椭圆C的左,右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线x=4交于点Q,且=9,求点P的坐标【分析】(1)由直线AF与直线x+y3垂直,可得:=1,则直线AF的方程为:y=x+c与椭圆方程联立可得B(,),于是c=0,解得c,即可得出椭圆方程(2)设P(x0,y0),则直线MP的方程为y=(x+2),可得Q.9=2(x0+2)+,由点P在椭圆上可得:=2,代入解出即可得出(2)设P(x0,y0),则直线MP的方程为y=(x+2),Q9=2(x0+2)+,7分由点P在椭圆上可得:=2,代入可得:9=2(x0+2)+,化为:+x02=0,解得x0=1或2(舍),P12分19. (2018江苏一模)已知椭圆C:(ab0)经过点,点A是椭圆的下顶点(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A且互相垂直的两直线l1,l2与直线y=x分别相交于E,F两点,已知OE=OF,求直线l1的斜率【分析】(1)根据题意,将两点的坐标代入椭圆的方程有,解可得、的值,即可得椭圆的方程;(2)设直线l1:y=k1x1,与直线y=x联立方程有,可得E的坐标,设直线l2:,同理

      6、可得F的坐标,又由OE=OF,所以,解可得k的值,即可得答案【解析】:(1)根据题意,椭圆C:(ab0)经过点,则有,解得,3分 所以椭圆C的标准方程为;5分(2)由题意知A(0,1),直线l1,l2的斜率存在且不为零,设直线l1:y=k1x1,与直线y=x联立方程有,得,设直线l2:,同理,7分 因为OE=OF,所以,无实数解;,解得,综上可得,直线l1的斜率为12分20 (2018辽宁模拟)已知M()是椭圆C:(ab0)上的一点,F1F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由【分析】(1)根据椭圆的定义及椭圆的性质,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(2)设直线AB的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,求得k2=,即可求得|OA|2+|OB|2=5为定值【解析】:(1)由题意,F1(,0),F2(,0),根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,所以2a=

      7、+=4,所以a2=4,b2=a2c2=1椭圆C的方程;5分(2)设直线AB:y=kx+m,(km0),A(x1,y1),B(x2,y2),由,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0,=(8km)24(1+4k2)(4m24)0,x1+x2=,x1x2=,因为k1k2=k2,所以=k2,即km(x1+x2)+m2=0(m0),解得k2=,8分|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=(x1+x2)22x1x2+2=5, 所以|OA|2+|OB|2=5为定值12分21. (2018南充模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点,若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围【分析】(1)由椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程(2)设l的方程为y=x+m,再与椭圆方程联立,将AOB为钝角,转化为0,且m0,利用韦达定理,即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围【解析】:(1)椭圆C:+=

      8、1(ab0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上,解得a=2,b=,c=,3分椭圆C的方程为=15分 (2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,l的方程为y=由,得x2+2mx+2m24=08分又直线l与椭圆交于A、B两个不同点,=(2m)24(2m24)0,于是2m2AOB为钝角等价于0,且m0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=x1x2+y1y2=,由韦达定理x1+x2=2m,x1x2=2m24,代入上式,化简整理得m22,即,故所求范围是()(0,)12分22. (2018聊城一模)已知圆x2+y2=4经过椭圆C:的两个焦点和两个顶点,点A(0,4),M,N是椭圆C上的两点,它们在y轴两侧,且MAN的平分线在y轴上,|AM|AN|()求椭圆C的方程;()证明:直线MN过定点【分析】()根据题意,由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标,即可得c、b的值,由椭圆的几何性质计算可得a的值,即可得椭圆的标准方程;()设直线MN的方程为y=kx+m,与椭圆的方程联立,消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m28=0设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系分析直线AM、AN的斜率,进而分析可得k1+k2=0,解可得m的值,由直线的斜截式方程即可得答案()证明:设直线MN的方程为y=kx+m由,消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m28=0设M(x1,y1),N(x2,y2),则,直线AM的斜率=;直线AN的斜率=k1+k2=8分由MAN的平分线在y轴上,得k1+k2=0即=0,又因为|AM|AN|,所以k0,所以m=1 因此,直线MN过定点(0,1)12分

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