2018年秋高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列学案 新人教a版必修5

第1课时等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)自 主 预 习·探 新 知1等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)(2)符号语言：q(q为常数，q0，nN*)思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？提示不能2等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列(2)结论：G叫做a，b的等比中项(3)满足的关系式：G2ab.思考：当G2ab时，G一定是a，b的等比中项吗？提示不一定，如数列0,0,5就不是等比数列3等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1·qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an·qn，而y·qx(q1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y·qx的图象上的孤立点思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式提示还可以用累乘法当n>2时，q，q，q，ana1···a1·qn1.基础自测1思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()答案(1)×(2)×(3)×(4)×提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列(4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项2下列数列为等比数列的序号是_2,22,3×22；，(a0)；s1，(s1)2，(s1)3，(s1)4，(s1)5；0,0,0,0,0.，所以不是等比数列；是首项为，公比为的等比数列；中，当s1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；显然不是等比数列3等比数列an中，a22，a5，则公比q_.【导学号：91432189】由定义知q，则a2a1q2，a5a4qa3q2a2q3a1q4，所以÷得q3，所以q.4在等比数列an中，a427，q3，则a7_.729由等比数列定义知q.所以a5a4q27×(3)81，a6a5q81×(3)243，a7a6q243×(3)729.合 作 探 究·攻 重 难等比数列的通项公式及应用在等比数列an中(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.【导学号：91432190】解(1)由等比数列的通项公式得，a63×(2)6196.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以ana1qn15×2n1.规律方法1等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解2关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算跟踪训练1在等比数列an中，(1)若它的前三项分别为5，15,45，求a5；(2)若a42，a78，求an.解(1)a5a1q4，而a15，q3，a5405.(2)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.等比中项(1)等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是()A±4B4C±D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项. 【导学号：91432191】思路探究：(1)用定义求等比中项(2)证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可(1)A由an·2n12n4知，a41，a824，所以a4与a8的等比中项为±4.(2)证明：b是a，c的等比中项，则b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)·(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项规律方法等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知G2abG±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab>0). 跟踪训练2若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为()A± B. C1 D±1D由题知2a13，a2.由b24得b±2±1.3设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()【导学号：91432192】A2 B4 C6 D8Ban(n8)d，又aa1·a2k，(k8)d29d·(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.等比数列的判断与证明探究问题1若数列an是等比数列，易知有q(q为常数，且q0)或aan·an2(an0，nN*)成立反之，能说明数列an是等比数列吗？提示：能若数列an满足q(q为常数，q0)或aan·an2(an0，nN*)都能说明an是等比数列2若数列an是公比为q的等比数列，则它的通项公式为ana1·qn1(a，q为非零常数，nN*)反之，能说明数列an是等比数列吗？提示：能根据等比数列的定义可知已知数列的前n项和为Sn2na，试判断an是否是等比数列思路探究：如何由求和公式得通项公式？a1是否适合anSnSn1(n2)？需要检验吗？解anSnSn12na2n1a2n1(n2)当n2时2；当n1时，.故当a1时，数列an成等比数列，其首项为1，公比为2；当a1时，数列an不是等比数列母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“Sn2na”变为“Sn2an”求证数列an是等比数列证明Sn2an，Sn12an1，an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，an是等比数列2(变条件变结论)将例题中的条件“Sn2na”变为“a11，an12an1”证明数列an1是等比数列，并求出数列an的通项公式解因为an12an1，所以an112(an1)由a11，知a110，从而an10.所以2(nN)，所以数列an1是等比数列所以an1是以a112为首项，2为公比的等比数列，所以an12·2n12n，即an2n1.规律方法判断一个数列an是等比数列的方法：(1)定义法：若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列.(2)等比中项法：对于数列an，若an·an2且an0，则数列an是等比数列.(3)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列. 当 堂 达 标·固 双 基1下列数列是等比数列的是()【导学号：91432193】A2,2，2，2,2,2，2，2，B1,1，1,1，1，C0,2,4,6,8,10，Da1，a2，a3，a4，BA.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B由等比数列定义知该数列为等比数列C等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列D当a0时，该数列不是等比数列；当a0时，该数列为等比数列2若2a，b,2c成等比数列，则函数yax2bxc的图象与x轴的交点个数是()A0B1C2 D0或2B由题意，得b24ac，故函数yax2bxc的图象与x轴相切3在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为()【导学号：91432194】A± B±2C. D2D因为q38，故q2.4在等比数列an中，若公比q4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an_.4n1由题意知a14a116a121，解得a11，所以通项公式an4n1.5已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式.【导学号：91432195】解依题意an2(n1)×(1)3n，于是bn3n.而12.数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn2n3.- 7 -