2018年秋高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和学案 新人教a版必修5

第1课时等差数列的前n项和学习目标：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)自 主 预 习·探 新 知1数列的前n项和的概念一般地，称a1a2an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2an.思考：如何用Sn和Sn1的表达式表示an?提示an2等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d思考：等差数列an中，若已知a27，能求出前3项和S3吗？提示S33a221.基础自测1思考辨析(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和()(2)anSnSn1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式()(3)在等差数列an中，当项数m为偶数2n时，则S偶S奇an1.()答案(1)(2)×(3)×提示：(1)正确由前n项和的定义可知正确(2)错误例如数列an中，Snn22.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又因为a1S13，所以a1不满足anSnSn12n1，故命题错误(3)错误当项数m为偶数2n时，则S偶S奇nd.2等差数列an中，a11，d1，则其前n项和Sn_.因为a11，d1，所以Snn×1.3在等差数列an中，S10120，那么a1a10_.【导学号：91432163】24由S10120.解得a1a1024.4设等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6_.48设等差数列an的公差为d，由已知得4a1×d20，即4×d20，解得d3，所以S66××334548.合 作 探 究·攻 重 难等差数列前n项和的有关计算在等差数列an中，(1)已知a1，an，Sn5，求n和d；(2)已知a14，S8172，求a8和d.【导学号：91432164】解(1)由题意得，Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.n15，d.(2)由已知得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.规律方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪训练1在等差数列an中，(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.解(1)解得a15，d3.a8a62d102×316，S1010a1d10×(5)5×9×385.(2)S17340.an与Sn的关系的应用探究问题1若数列an的前n项和为Sn，则关系式anSnSn1的使用条件是什么？提示：使用条件是n2.2若数列an的前n项和为Sn，a2 016a2 017a2 018如何用前n项和Sn表示？提示：a2 016a2 017a2 018S2 018S2 015.3已知数列an的通项公式an，可利用Sna1a2an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列an的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？提示：对所有数列都有Sna1a2an1an，Sn1a1a2an1(n2)因此，当n2时，有anSnSn1；当n1时，有a1S1.所以an与Sn的关系为an当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式anf(n)(nN*)来表示设Sn为数列an的前n项和，Sn2n230n.(1)求a1及an.(2)判断这个数列是否是等差数列.【导学号：91432165】思路探究：(1)利用a1S1，求a1，借助于anSnSn1(n2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可解(1)因为Sn2n230n，所以当n1时，a1S12×1230×128，当n2时，anSnSn12n230n2(n1)230(n1)4n32.验证当n1时上式成立，所以an4n32.(2)由an4n32，得an14(n1)32(n2)，所以anan14n324(n1)324(常数)，所以数列an是等差数列母题探究：1.(变条件变结论)将本例的条件“Sn2n230n”改为“log2(Sn1)n1”，其他条件不变，求an.解由log2(Sn1)n1得Sn12n1，Sn2n11当n2时anSnSn12n112n12n.当n1时，a1S13.经验证不符合上式an2(变条件变结论)将本例中的条件“Sn2n230n”变为“正数数列bn的前n项和Sn(bn1)2”，求bn的通项公式解当n2时，bnSnSn1，bn(bn1)2(bn11)2(bb2bn2bn1)整理得：bb2bn2bn10，(bnbn1)(bnbn12)0，bnbn1>0，bnbn12(n2)bn为等差数列又b1(b11)2，b11，bn1(n1)·22n1.规律方法已知数列an的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：（1）当n1时，a1S1.（2）当n2时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.（3）如果a1也满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式为anSnSn1；如果a1不满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an等差数列前n项和公式的实际应用某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？思路探究：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程解从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d.25辆翻斗车完成的工作量为：a1a2a2525×2425×12×500，而需要完成的工作量为24×20480.500>480，在24小时内能构筑成第二道防线规律方法1本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列2遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.跟踪训练2植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_米.【导学号：91432166】2 000假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S9×20×2010×20×202 000(米)当 堂 达 标·固 双 基1(2018·全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10D12B通解设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24×(3)10.故选B.优解设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd.a12，d3，a5a14d24×(3)10.故选B.2设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5() 【导学号：91432167】A5 B7C9 D11A由题a1a3a53，3a33.a31又S55.3已知数列an的前n项和为Snn2，则()Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1B由anSnSn1(n2)得an12n，当n1时，S1a11符合上式an2n1.4在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.190S19190.5已知等差数列an中，a1，d，Sn15，求n及a12.【导学号：91432168】解Snn··15，整理得n27n600，解之得n12或n5(舍去)，a12(121)×4.- 6 -