2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算学案 新人教a版必修4

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算学习目标：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系(易混点)自 主 预 习·探 新 知1平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示显然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)2平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有：加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘a(x1，y1)重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)基础自测1思考辨析(1)若(2，1)，则点A的坐标为(2，1)()(2)若点A的坐标为(2，1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，1)()(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的()解析(1)正确对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同(2)错误以A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等(3)正确由平面向量坐标的概念可知答案(1)(2)×(3)2已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()ABC(8,1)D(8,1)A(5，1)(3，2)(8,1)，.3如图2­3­14，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，45°，则向量a的坐标为_图2­3­14(，)由题意知a(2cos 45°i,2sin 45°j)(i，j)(，)合 作 探 究·攻 重 难平面向量的坐标表示如图2­3­15，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45°，OAB105°，a，b.四边形OABC为平行四边形图2­3­15(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标. 【导学号：84352220】解(1)作AMx轴于点M，则OMOA·cos 45°4×2，AMOA·sin 45°4×2，A(2，2)，故a(2，2)AOC180°105°75°，AOy45°，COy30°.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).规律方法求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.跟踪训练1已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60°，(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)，求的坐标解(1)设点A(x，y)，则x4cos 60°2，y4sin 60°6，即A(2，6)，(2，6)(2)(2，6)(，1)(，7).平面向量的坐标运算(1)已知ab(1,3)，ab(5,7)，则a_，b_.(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标思路探究(1)用加减消元法求a，b的坐标(2)法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值法二：用向量线性运算的几何意义直接计算，的坐标(1)(3,5)(2，2)由ab(1,3)，ab(5,7)，所以2a(1,3)(5,7)(6,10)，所以a(3,5)，2b(1,3)(5,7)(4，4)，所以b(2，2)(2)解法一：(待定系数法)由A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2,4)(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)，所以33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3,24)，x10，y120；(x23，y24)(12,6)，x29，y22，所以M(0,20)，N(9,2)，(9,2)(0,20)(9，18)法二：(几何意义法)设点O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，从而32，2，所以3(2,4)2(3，4)(0,20)，2(3，1)(3，4)(9,2)，即点M(0,20)，N(9,2)，故(9,2)(0,20)(9，18)规律方法平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练2若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标解(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3).向量坐标运算的综合应用探究问题1已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？提示：t(1,2)t(3,3)(13t,23t)若点P在x轴上，则23t0，t.若点P在y轴上，则13t0，t.若点P在第二象限，则<t<.2对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由提示：(1,2)，(33t,33t)若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解故四边形不能为平行四边形(1)已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则mn_.(2)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)若AAA(R)，试求为何值时，点P在一、三象限角平分线上；点P在第三象限内. 【导学号：84352221】思路探究(1)(2)(1)7由已知得manbm(2，3)n(1,2)(2mn，3m2n)又p(9,4)且pmanb，所以解得所以mn7.(2)解设点P的坐标为(x，y)，则A(x，y)(2,3)(x2，y3)，A·A(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)AAA，则若P在一、三象限角平分线上，则5547，当时，点P在一、三象限角平分线上若P在第三象限内，则<1，当<1时，点P在第三象限内母题探究：1.若本例(2)条件不变，试求为何值时，点P在第四象限解若P在第四象限，则解得1.2若本例(2)条件“”改为“”，其他条件不变，应如何解答？解设点P的坐标为(x，y)，则(x5，y4)，(3，1)(2,6)(32，16)因为，所以则若P在一、三象限角平分线上，则2236，解得.若P在第三象限内，则解得1.规律方法1.解答本题可用待定系数法此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用2坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值当 堂 达 标·固 双 基1给出下面几种说法：相等向量的坐标相同； 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应于唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1B2C3D4C由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误2已知A(2，3)，(3，2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为() 【导学号：84352222】AB(5，5)，M(0,0)BB(5，5)，MCB(1,1)，M(0,0)DB(1,1)，MB(2，3)(3，2)(5，5)，(2，3)(3，2).3已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为_(1,2)设C的坐标为(x，y)，则由已知得，所以(x，y)(1,2)4已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_(3，4)，则与同方向的单位向量为(3，4).5已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab. 解(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7)(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3)ab(1,2)(2,1).8