2018年秋高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学案 新人教a版必修4

第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标：1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点)2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重点)3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间(重点、易混点)自 主 预 习·探 新 知解析式ysin xycos x图象值域1,11,1单调性在2k，kZ上递增，在2k，kZ上递减在2k，2k，kZ上递增，在2k，2k，kZ上递减最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1思考：ysin x和ycos x在区间(m，n)(其中0mn2)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？提示由正弦函数和余弦函数的单调性可知m，n.基础自测1思考辨析(1)ysin x在(0，)上是增函数()(2)cos 1cos 2cos 3.()(3)函数ysin x，x的最大值为0.()解析(1)错误ysin x在上是增函数，在上是减函数(2)正确ycos x在(0，)上是减函数，且0123，所以cos 1cos 2cos 3.(3)正确函数ysin x在x上为减函数，故当x0时，取最大值0.答案(1)×(2)(3)2函数y2sin x取得最大值时x的取值集合为_当sin x1时，ymax2(1)3，此时x2k，kZ.3若cos xm1有意义，则m的取值范围是_0,2因为1cos x1，要使cos xm1有意义，须有1m11，所以0m2.合 作 探 究·攻 重 难正弦函数、余弦函数的单调性(1)函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)sin1，求函数f(x)的单调递增区间思路探究1.确定a的范围ycos x在区间，a上为增函数ycos x在区间，0上是增函数，在区间0，上是减函数a的范围2确定增区间令u2xysin u的单调递增区间(1)(，0(1)因为ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有a0时满足条件，故a(，0(2)令u2x，函数ysin u的单调递增区间为，kZ，由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.所以函数f(x)sin1的单调递增区间是，kZ.规律方法1.求形如yAsin(x)b或形如yAcos(x)b(其中A0，>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；在A>0，>0时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律跟踪训练1(1)函数ysin，x的单调递减区间为_(2)已知函数ycos，则它的单调减区间为_(1)，(2)(kZ)(1)由2k3x2k(kZ)，得x(kZ)又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，.(2)ycoscos，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，单调递减区间是(kZ)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos与cos. 【导学号：84352095】思路探究解(1)，sinsin.(2)sin 196°sin(180°16°)sin 16°，cos 156°cos(180°24°)cos 24°sin 66°，0°16°66°90°，sin 16°sin 66°，从而sin 16°sin 66°，即sin 196°cos 156°.(3)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上是减函数，coscos，即coscos.规律方法三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.跟踪训练2(1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()Asin sin Bcos sin Ccos cos Dcos cos (2)比较下列各组数的大小：cos，cos；cos 1，sin 1.(1)B(1)，为锐角三角形的两个内角，所以cos cossin .(2)coscos，coscos，因为0，而ycos x在0，上单调递减，所以coscos，即coscos.因为cos 1sin，而011且ysin x在上单调递增，所以sinsin 1，即cos 1sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题探究问题1函数ysin在x0，上最小值是多少？提示：因为x0，所以x，由正弦函数图象可知函数的最小值为.2函数yAsin xb，xR的最大值一定是Ab吗？提示：不是因为A>0时最大值为Ab，若A<0时最大值应为Ab.(1)函数ycos2x2sin x2，xR的值域为_(2)已知函数f(x)asinb(a0)当x时，f(x)的最大值为，最小值是2，求a和b的值. 【导学号：84352096】思路探究(1)先用平方关系转化，即cos2x1sin2x，再将sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题(2)先由x求2x的取值范围，再求sin2x的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解(1)4,0(1)ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2.因为1sin x1，所以4y0，所以函数ycos2x2sin x2，xR的值域为4,0(2)0x，2x，sin1，f(x)maxab，f(x)minab2.由得母题探究：1.求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合解因为ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2，所以当sin x1时，ymin4，此时x的取值集合为.2将本例(1)中函数改为ycos2xsin x，xR结果又如何？解ycos2xsin x1sin2xsin x2.因为1sin x1，所以1y，所以函数ycos2xsin x，xR的值域为.规律方法三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)yasin2xbsin xc(a0)，利用换元思想设tsin x，转化为二次函数yat2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定(2)yAsin(x)b，可先由定义域求得x的范围，然后求得sin(x)的范围，最后得最值当 堂 达 标·固 双 基1y2cos x2的值域是()A2,2B0,2C2,0DRA因为xR，所以x20，所以y2cos x22,22函数ycos x在区间上是()A增函数 B减函数C先减后增函数D先增后减函数C因为ycos x在区间上先增后减，所以ycos x在区间上先减后增3函数ysin x的值域为_因为x，所以sin x1，即所求的值域为.4sin_sin(填“”或“”). sinsinsin，因为0，ysin x在上是增函数，所以sinsin，即sinsin.5函数y1sin 2x的单调递增区间解求函数y1sin 2x的单调递增区间，转化为求函数ysin 2x的单调递减区间，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函数的单调递增区间是(kZ)7