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2018年秋高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教a版选修2-2

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2018年秋高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教a版选修2-2

章末综合测评(二)推理与证明(满分:150分时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1根据偶函数定义可推得“函数f(x)x2在R上是偶函数”的推理过程是()A归纳推理B类比推理C演绎推理 D非以上答案C根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理,故选C.2在ABC中,E、F分别为AB、AC的中点,则有EFBC,这个问题的大前提为() 【导学号:31062183】A三角形的中位线平行于第三边B三角形的中位线等于第三边的一半CEF为中位线DEFBCA这个三段论推理的形式为:大前提:三角形的中位线平行于第三边;小前提:EF为ABC的中位线;结论:EFBC.3用数学归纳法证明:“(n1)(n2)··(nn)2n·1·3··(2n1)”从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C DB当nk时左端的第一项为(k1),最后一项为(kk)当nk1时,左端的第一项为(k2),最后一项为(2k2)左边乘以(2k1)(2k2),同时还要除以(k1)4下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比,则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比,则有sin(xy)sin xsin yC把a(bc)与axy类比,则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比,则有(xy)zx(yz)D(xy)zx(yz)是乘法的结合律,正确5已知abc0,则abbcca的值() 【导学号:31062184】A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0D法一:因为abc0,所以a2b2c22ab2ac2bc0,所以abbcca0.法二:令c0,若b0,则abbcca0,否则a、b异号,所以abbccaab0,排除A、B、C,故选D.6对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:(ab)2(bc)2(ca)20;ab与bc及ac中至少有一个成立;ac,bc,ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0个 B1个C2个 D3个B若(ab)2(bc)2(ca)20,则abc,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,故正确ab与bc及ac中最多只能有一个成立,故不正确由于“a,b,c是不全相等的正数”,有两种情形:至多有两个数相等或三个数都互不相等,故不正确7我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体下列几何体中,一定属于相似体的有()两个球体;两个长方体;两个正四面体;两个正三棱柱;两个正四棱锥A4个 B3个C2个 D1个C类比相似形中的对应边成比例知,属于相似体8观察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10()A28 B76C123 D199C利用归纳法,ab1,a2b23,a3b3431,a4b4437,a5b57411,a6b611718,a7b7181129,a8b8291847,a9b9472976,a10b107647123,规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和9对任意的锐角,下列不等式中正确的是()Asin()sin sin Bsin()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos D因为,为锐角,所以0,所以cos cos()又cos 0,所以cos cos cos()10在等差数列an中,若a100,则有等式a1a2ana1a2a19n(n<19且nN*)成立,类比上述性质,在等比数列bn中,若b111,则有() 【导学号:31062185】Ab1·b2··bnb1·b2··b19nBb1·b2··bnb1·b2··b21nCb1b2bnb1b2b19nDb1b2bnb1b2b21nB令n10时,验证即知选B.11将石子摆成如图1的梯形形状,称数列5,9,14,20,为“梯形数”根据图形的构成,此数列的第2 014项与5的差,即a2 0145()图1A2018×2014 B2018×2013C1010×2012 D1010×2013Dan5表示第n个梯形有n1层点,最上面一层为4个,最下面一层为n2个an5,a2 01452 013×1 010.12如图1(1),在ABC中,ABAC于点A,ADBC于点D,则有AB2BD·BC,类似地有命题:如图1(2),在三棱锥ABCD中,AD平面ABC,若A在BCD内的射影为O,则SSBCO·SBCD,那么上述命题()(1)(2)图1A是真命题B增加条件“ABAC”后才是真命题C是假命题D增加条件“三棱锥ABCD是正三棱锥”后才是真命题A由已知垂直关系,不妨进行如下类比:将题图(2)中的ABC,BCO,BDC分别与题图(1)中的AB,BD,BC进行类比即可严格推理如下:连结DO并延长交BC于点E,连结AE(图略),则DEBC,AEBC.因为AD平面ABC,所以ADAE.又因为AODE,所以AE2EO·ED,所以S(BC·EA)2(BC·EO)·(BC·ED)SBCO·SBCD.故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13已知x,yR,且xy>2,则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为_. 【导学号:31062186】解析“至少有一个”的反面为“一个也没有”,即“x,y均不大于1”,亦即“x1且y1”答案x,y均不大于1(或者x1且y1)14当n1时,有(ab)(ab)a2b2,当n2时,有(ab)(a2abb2)a3b3,当n3时,有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4,当nN*时,你能得到的结论是_解析根据题意,由于当n1时,有(ab)(ab)a2b2,当n2时,有(ab)(a2abb2)a3b3,当n3时,有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4,当nN*时,左边第二个因式可知为anan1babn1bn,那么对应的表达式为(ab)·(anan1babn1bn)an1bn1.答案(ab)(anan1babn1bn)an1bn115有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是_解析法一:由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法故甲的卡片上的数字是1和3.法二:因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.答案1和316现有一个关于平面图形的命题:同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为_. 【导学号:31062187】解析解法的类比(特殊化),易得两个正方体重叠部的体积为.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)用综合法或分析法证明:(1)如果a,b>0,则lg ;(2)>22.证明(1)当a,b>0时,有,lglg,lglg ab.(2)要证>22,只要证()2>(22)2,即2>2,这是显然成立的,所以,原不等式成立18(本题满分12分)观察:tan 10°·tan 20°tan 20°·tan 60°tan 60°·tan 10°1,tan 5°·tan 10°tan 10°·tan 75°tan 75°·tan 5°1.由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广,此推广是什么?并证明你的推广解从已知观察到10°20°60°90°,10°75°5°90°,因此猜测推广式为若,且,都不为k(kZ),则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下:由,得.因为tan()tan.又因为tan(),所以tan tan tan()(1tan tan )(1tan tan ),所以tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )·tan tan 1tan tan tan tan 1.19(本题满分12分)设a>0,b>0,ab1,求证:8.试用综合法和分析法分别证明. 【导学号:31062188】解法一(综合法)a>0,b>0,ab1,1ab2,ab,4.又(ab)24,8(当且仅当ab时等号成立)法二(分析法)a>0,b>0,ab1,要证8,只要证8,只要证8,即证4,也就是证4,即证2.由基本不等式可知,当a>0,b>0时,2成立,所以原不等式成立20(本题满分12分)已知函数f(x)ax(a>1)(1)证明:函数f(x)在(1,)上为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根. 【导学号:31062189】解(1)法一:任取x1、x2(1,),不妨设x1<x2,则x

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