2018年秋高中数学 专题强化训练3 导数及其应用 新人教a版选修1-1

专题强化训练(三) 导数及其应用(建议用时：45分钟)基础达标练1一物体作直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)2t28t，则这一物体在t1 s时的加速度为 ()A4 m/s2B4 m/s2C6 m/s2 D6 m/s2B由导数的概念可求得速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v(t)4t8，它在t1时的导数就是这一物体在t1时的加速度a，所以av(1)，又v(t)4，所以a4.2函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b<0时，f(x)在R上 ()A是增函数 B是减函数C是常函数 D既不是增函数也不是减函数Af(x)3x22axb，方程3x22axb0的判别式(2a)24×3b4(a23b)因为a23b<0，所以4(a23b)<0，所以f(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数3函数f(x)x2ln x的极值点为() 【导学号：97792176】A0,1，1 BC D，Bf(x)的定义域为(0，)，f(x)3x.令f(x)0得x或x(舍去)，当x>时，f(x)>0，当0<x<时，f(x)<0，所以当x时，f(x)取得极小值，从而f(x)的极小值点为x，无极大值点4如果函数f(x)的图象如图3­2所示，那么导函数yf(x)的图象可能是()图3­2A由函数f(x)的图象知，函数f(x)的增减情况为增，减，增，减，对应f(x)的正负情况为正，负，正，负故选A.5从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 ()A24 cm3 B72 cm3C144 cm3 D288 cm3C设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160x,0<x<5，y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，ymax6×12×2144(cm3)二、填空题6已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.1f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.7函数f(x)(x2)的最大值为_2f(x)，f(x)<0，函数f(x)在2，)上单调递减，故当x2时，函数f(x)取得最大值2.8若函数f(x)(mx1)ex在(0，)上单调递增，则实数m的取值范围是_. 【导学号：97792177】1，)f(x)mex(mx1)ex(mxm1)ex，由题意知，f(x)0在x0，)上恒成立也就是mxm10在x0，)上恒成立，当m0时显然不成立，当m>0时，令g(x)mxm1，只需g(0)0，得m1.即实数m的取值范围为1，)三、解答题9已知函数g(x)1.(1)求g(x)的单调区间；(2)当<x<y<1时，试证明<.解(1)因为g(x)1，所以g(x).令g(x)>0，得x>1；令g(x)<0，得0<x<1.所以g(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)(2)证明：由(1)知g(x)1在(0,1)上单调递减，所以当<x<y<1时，g(x)>g(y)，即1>1，所以<，即<.10如图3­3，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r(r>0)，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD2x，梯形面积为S.图3­3(1)求面积S以x为自变量的函数关系式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值解(1)依题意，设AB的中点为O，以O为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，设C的坐标为(x，y)，则x，y满足方程1(y>0)，解得y2(0<x<r)，所以S(2x2r)·22(xr)，其定义域为(0，r)(2)由(1)可得S.记f(x)4(xr)2(r2x2)，0<x<r，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得x.当0<x<时，f(x)>0；当<x<r时，f(x)<0.所以f是f(x)的最大值因此，当x时，S也取得最大值，最大值为r2，即等腰梯形的面积S的最大值为r2.能力提升练1函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()Df(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又f(2)8e2(0,1)，故排除A，B.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.2已知函数f(x)ax44ax3b(a>0)，x1,4，f(x)的最大值为3，最小值为6，则ab()A. B. C. D.Cf(x)4ax312ax2.令f(x)0，得x3或x0(舍去)当1x<3时，f(x)<0，当3<x4时，f(x)>0，故x3为极小值点，也是最小值点f(3)b27a，f(1)b3a，f(4)b，f(x)的最小值为f(3)b27a，最大值为f(4)b，解得，ab.3函数yxex在其极值点处的切线方程为_y由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.4若函数f(x)2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_由题意可知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x.由f(x)>0，得函数f(x)的单调增区间为；由f(x)<0，得函数f(x)的单调减区间为.由于函数f(x)在区间(k1，k1)上不是单调函数，所以k1<<k1，解得<k<.又(k1，k1)为定义域的一个子区间，所以k10，即k1.综上所述，实数k的取值范围为.5已知函数f(x)aln x(a>0)(1)若曲线yf(x)在点A(2，f(2)处的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x>0时，求证：f(x)a；(3)若在区间(1，e)上，>1恒成立，求实数a的取值范围. 【导学号：97792178】解(1)f(x)，f(2)2，a4.(2)证明：令g(x)f(x)a，则g(x)aln x1，g(x)a.令g(x)>0，即a>0，解得x>1，令g(x)<0，即a<0，解得x<1，又x>0，0<x<1.g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)的最小值为g(1)0，f(x)a.(3)令h(x)aln x1x，则h(x)1，令h(x)>0，解得x<a，令h(x)<0，解得x>a.当ae时，h(x)在(1，e)上是增函数，h(x)>h(1)0；当1<a<e时，h(x)在(1，a)上单调递增，在(a，e)上单调递减，只需h(e)0，即ae1；当a1时，h(x)在(1，e)上单调递减，则只需h(e)0，又h(e)a1e<0，此时a不存在综上，实数a的取值范围为e1，)6