不规则图形面积计算的新方法

武测科 技 七 年第期 不规则图形面积计算的新方法 曹新华 工程浏量系 【提要】 不规 则面积的测贡与计茸是土地管理 、 地籍浏童 、道路及施 工童和 其它一些测童中一项经常性的工作 。 本文推导和介绍一种不规则酬面积计葬的新 方法 三次样条函数法 。 通过与其它方法对相同图形面积计茸结果比较证 明在相 同数量支距的情况下 , 三次样条函数法能提供更高猜度的面积计算 结果 , 且具有更 为 灵活方便 的特点 , 因而 可 以广泛地应用于各 类生产中 。 【讲 , 印 犷 份份 前言 在土地管理 、地籍 测量 、 道路及施工测量和其它一些测量中 , 不规则图形面积的测量与计 算是一项经常性的工作 。 在对精度要求较高的情况下 , 一般都采用解析法来计算面积 。 面积计 算的方法有多种 , 国内外使用较多的有 坐标法 、梯形 法 、支距法、 加法 、 法 和法一般化的公式 。 对于不规则图形 , 前三种方法均以直线代替曲线来计算面 积 , 因此当边界弯曲较大或较频繁时 , 需要增加采集点的密度才能较好地与实际边界相符合 , 但这势必要增加一定的工作量而后三种方法则是采用二次或三次抛物线来模拟边界曲线 , 在 一定程度上较好地反映了边界的实际情况 。 张汉贤同志推导出以三次抛物线模拟边界曲线计 算不规则图形面积的公式对上述方法有所改进 湖北测绘 , 。 但这几种计算方 法不是受到等支距间隔条件的限制 , 就是对支距间隔数有一定的要求 。 因此在实际外业工作 中 , 很难根据实地边界曲线的变化灵活地选取合适的点测量支距 , 结 果使得所建立的数学模型 不能与地面曲线很好地符 合 , 影响面积的计算精度 。 为解决上述 问题 , 本文介绍不规则图形面积计算的一种新方法 三次样条函数法 。 这种 方法不受上述条件的限制 , 不仅可以根据实地边界曲线的变化来选取支距点 , 而且采用的数学 模型能与边界曲线符合得更好 , 因而可以灵活地应用于内外业面积量算中 , 并能提高面积的计 算精度 。 三次样条多项式的推导 在图中 , 不规则曲线在区间【 , , 被划分成 。一 个相等或不相等的区间段 , , 全 全 二 公盆了 尝一 忿 名一 盆 图 【 , , , 一, , 。 要对 不规则曲线上个已知点 , ”作一条光滑曲线来进行 拟合 , 当结点很多时作高次插值多项式是不合适的 , 因为不一定与实际情况相符 , 计算量也太 大 。 而采用分段插值方法 , 即每两结点或几个结点求出一个插值函数 , 其结果在很多结点处插 值函数是不光滑的 , 也就是说导数不连续 。 因此 , 要求曲线光滑到有连续二阶导数 , 即用样条函 数来对不规则曲线进行拟 合 。 对每一曲线段采用三次 多项式 使之在区间【 , 戈 内符合 , 而每一个三次 多项式 在其两端点 及 十, 处必须和已知函数在该点的值相等 , 即 , 汁 一 , ,衬 一 由于各相邻多项式的一 、 二阶导数在支点处必须相等 , 则 “ · 一 ” 一“ 即,片 而在曲线两端点处 曲率为零 , , 一 ,”, ,” 从 方程组 、 共 二 一 个关系式便可解算出未知的 , 一 个多项式系数 , 为 便于表示 , 记 工 , 汁 ,一一,” 一八叹 则区间 , 戈 , 上 只 ” 可由两端点的值 和 十,用线性插值 公式写出 只 , 一 权 一 ,十 ,下 一 伪 从 对 上式进行两次积分并利用条件 , 整理后便可得到区间【 , 上曲线的三次样条多项 式为 一 李一毕 几面 、, 关 飞夕州尸 勺下一 佗 些续丝 一 异 , 一 , 刀箭 一 , ,玲 一 因此 , 只要求出每一个 , 便可按公式写 出所有的三次样条多项式 。 为了求得 , 对式求微分并用条件整理得 一, 爪人一 , 价 , 、产、产 二口内匕 矛 、 。 苏 十 一工关一工一 、 、 , 灰入一 一 , ,忍 一 且有 自 一一 由式和式便可组成计算全部三次样条多项式系数 。 的线性方程组 。 不规则图形面积计算的新方法 公式给出了区间【 , 上曲线的三次样条多项式 , 根据积分原理可得其面积为 一 ” · · 一 食 一 警 一赞 一 黔 一 异 伙 , 咎 瓜 一 , , 龙 , 一 , 六 飞犷 火六尸 乙 灰 价 、, , 一 一下尸 又气一龙 一,们 坛一 一 关一 从 一 一一 众 一 , 湍 一 , 将爪二戈 , 一 代入 并整理得 , 工了 汁 人 , 价价十 、, 价 , 一 、一一一二一一一 一 一一一不言一一一一从州卜一气万丁 人 乙乙住 , ,升 一 则式即为 曲线与轴在区间【 , 龙 , 上所围面积的计算公式 。 显然 , 曲线与轴在区间 , , 上所围面积的计算公式为 , 一 之 ” “ 一 ” , · “ ,· 之 , 一 “ , 十 ” · 凡 一, 习 人 所以 , 式 、 和式即为应用三次样条函数法计算不规则图形的面积计算公式 下面给出应用三次样条函数法在计算机上计算不规则图形面积的处理步骤 输入支距点数 , , 数组说明 , 输入支距点坐标 , 尸 , 计算 万一 一 按式和式组成求算三次样条多项式系数的线性方程组 , 用矩阵形式表示为 · 解算线性方程组求三次样条多项式系数 按式和式计算图形的面积 一 一 熟 丛州宁止丝 落云 、,、 一一 夕打叹乙少 乙 落 ,、, , 寸 一一 一 石厂犷一一一一打 曰 一 乙 任 计算实例比较 为便于与其它几 种方法进行比较 , 本文 引用 了张坟贤文 中三个不 同图形的计算数据图 一图和计算结果 表 七 表 , 并按等间距和不等间距 图中 , 分别用三次样条函数 法进行了计算 , 所得面积值也填入表中最后将不同方法计算所得面积的相对误差进行了比较 图和 图 。 恤 的 丫月 三昌 熟载至叠 载 三 麟三麟 浪 戮圣蒸三载洲 口凶呼叫的口洲甲 。 州哪 。 曰州甘 。 价工协 仍叫 。 公哪 场 习间司 。 卜 。工 烈斗 , 一竺一一止址 竺己兰一竺一 习巴曰 。 , 华 一 竺一一心巴一上己与 图 图 介 。 叫 · 州 ,。 · , 二的 。 由 心 咬 。 仲 。 卜 。 的 、 呛 二 心, 二 的 卜、 , 已、 吮呀灼吮 劝口门口卜, 卜卜卜 卜 。 入 广卜 。晚 境 卜 叫 , 目 一 帅 。 曰 。 心 电 卜也门口 目 , 润 含 仍 沁杯峪苗二二 几一 一 司 。 一止巴一一二一 卫 , 巧 一目 一 ,。, 二舀 一 曰口脚口 图 表图的面积与误差表 图的面积与误差 方方法法间距距面积积误差差 梯梯形法法 加卿法法 卿 法法 一 样样条函数法法 一 支支距法法 一 法法 法法 一 样样条函数法法 一 支支距法法 法法 法法 一 样样条函数法法 一 支支距法法 一 八法法 一 法法 一 样样条函数法法 一 方方法法间距距面积积误差差 梯梯形法法 法法 。 一 卿 法法 一 样样条函数法法 一 支支距法法 一 法法 法法 样样条函数法法 支支距法法 十 八法法 一 法法 一 样样条函数法法 一 一 表图 的面积与误差 方方法法间距距面积积误差差 梯梯形法法 法法 一 娜 法法 样样条函数法法 一 支支距法法 一 , 法法 。 法法 一 样样条函数法法 支支距法法 二 八法法 一 法法 一 样样条函数法法 结论 首先 , 根据所推导面积计算公式可知 , 用三次样条函数对不规则曲线进行拟合 , 可使模拟 法 样条函数法 梯形法 法 口叮自,人、,弓, 十十十一一一一 图等间隔面积误差比较 图不等间隔面积误差比较 曲线光滑至有连续二阶导数 , 即任意两相邻多项式的峰值点得到了圆滑处理 , 因而其数学模型 能更好地与地面曲线相符 。 其次 , 从与其它方法计算结果比较来看 , 在支距点数相同即外业工作量相同的情况下 , 三次样条函数法通常能给出比其它方法更高精度 的面积计算结果 , 计算过 程也并不难在计算 机上实现 。 最后 , 由于三次样条函数法无论是在支距间隔相等或不等的情况下均可应用 , 且对支距间 隔无任何限制 , 因此 , 测 量时可根据实际边界的变化选取支距点 , 这无疑将使得外业工作更为 灵活和便利 , 可广泛地应用于各类生产中 。 但由于实际情况的复杂性 , 边界上可能既存在光滑部分 , 又存在不光滑部分或者折 线部 分 。 在这种情况下 , 为了保证面积的计算精度 , 需要根据边界变化的实际情况 , 采取分段处理的 方法来进行 , 对光滑的边界采用本文介绍的方法处理 , 而对于不光滑或折线边界则采用相应的 其它方法处理 , 将所得的各部分面积求其代数和即为所求结果 。