不规则图形面积计算的新方法
6页1、武测科 技 七 年第期 不规则图形面积计算的新方法 曹新华 工程浏量系 【提要】 不规 则面积的测贡与计茸是土地管理 、 地籍浏童 、道路及施 工童和 其它一些测童中一项经常性的工作 。 本文推导和介绍一种不规则酬面积计葬的新 方法 三次样条函数法 。 通过与其它方法对相同图形面积计茸结果比较证 明在相 同数量支距的情况下 , 三次样条函数法能提供更高猜度的面积计算 结果 , 且具有更 为 灵活方便 的特点 , 因而 可 以广泛地应用于各 类生产中 。 【讲 , 印 犷 份份 前言 在土地管理 、地籍 测量 、 道路及施工测量和其它一些测量中 , 不规则图形面积的测量与计 算是一项经常性的工作 。 在对精度要求较高的情况下 , 一般都采用解析法来计算面积 。 面积计 算的方法有多种 , 国内外使用较多的有 坐标法 、梯形 法 、支距法、 加法 、 法 和法一般化的公式 。 对于不规则图形 , 前三种方法均以直线代替曲线来计算面 积 , 因此当边界弯曲较大或较频繁时 , 需要增加采集点的密度才能较好地与实际边界相符合 , 但这势必要增加一定的工作量而后三种方法则是采用二次或三次抛物线来模
2、拟边界曲线 , 在 一定程度上较好地反映了边界的实际情况 。 张汉贤同志推导出以三次抛物线模拟边界曲线计 算不规则图形面积的公式对上述方法有所改进 湖北测绘 , 。 但这几种计算方 法不是受到等支距间隔条件的限制 , 就是对支距间隔数有一定的要求 。 因此在实际外业工作 中 , 很难根据实地边界曲线的变化灵活地选取合适的点测量支距 , 结 果使得所建立的数学模型 不能与地面曲线很好地符 合 , 影响面积的计算精度 。 为解决上述 问题 , 本文介绍不规则图形面积计算的一种新方法 三次样条函数法 。 这种 方法不受上述条件的限制 , 不仅可以根据实地边界曲线的变化来选取支距点 , 而且采用的数学 模型能与边界曲线符合得更好 , 因而可以灵活地应用于内外业面积量算中 , 并能提高面积的计 算精度 。 三次样条多项式的推导 在图中 , 不规则曲线在区间【 , , 被划分成 。一 个相等或不相等的区间段 , , 全 全 二 公盆了 尝一 忿 名一 盆 图 【 , , , 一, , 。 要对 不规则曲线上个已知点 , ”作一条光滑曲线来进行 拟合 , 当结点很多时作高次插值多项式是不合适的 ,
3、因为不一定与实际情况相符 , 计算量也太 大 。 而采用分段插值方法 , 即每两结点或几个结点求出一个插值函数 , 其结果在很多结点处插 值函数是不光滑的 , 也就是说导数不连续 。 因此 , 要求曲线光滑到有连续二阶导数 , 即用样条函 数来对不规则曲线进行拟 合 。 对每一曲线段采用三次 多项式 使之在区间【 , 戈 内符合 , 而每一个三次 多项式 在其两端点 及 十, 处必须和已知函数在该点的值相等 , 即 , 汁 一 , ,衬 一 由于各相邻多项式的一 、 二阶导数在支点处必须相等 , 则 “ 一 ” 一“ 即,片 而在曲线两端点处 曲率为零 , , 一 ,”, ,” 从 方程组 、 共 二 一 个关系式便可解算出未知的 , 一 个多项式系数 , 为 便于表示 , 记 工 , 汁 ,一一,” 一八叹 则区间 , 戈 , 上 只 ” 可由两端点的值 和 十,用线性插值 公式写出 只 , 一 权 一 ,十 ,下 一 伪 从 对 上式进行两次积分并利用条件 , 整理后便可得到区间【 , 上曲线的三次样条多项 式为 一 李一毕 几面 、, 关 飞夕州尸 勺下一 佗 些续丝 一 异 ,
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