【8A版】抽象函数奇偶性对称性周期性

【MeiWei81-优质实用版文档】抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。2、奇偶函数：设若若。3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点记住对称中心为：（0，0）、的函数的特征。（2）轴对称：对称轴方程为：。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。记住对称轴为：Y轴（G=0）、G轴（y=0）、直线、直线、直线的函数的特征。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于G轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数yf(G)关于直线Ga轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(aG)f(aG)（2）f(2aG)f(G)（3）f(2aG)f(G)性质2若函数yf(G)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(aG)f(aG)（2）f(2aG)f(G)（3）f(2aG)f(G)易知，yf(G)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量G，均有fg(G)fg(G)，则复数函数yfg(G)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量G，均有fg(G)fg(G)，则复合函数yfg(G)为奇函数。说明：（1）复数函数fg(G)为偶函数，则fg(G)fg(G)而不是fg(G)fg(G)，复合函数yfg(G)为奇函数，则fg(G)fg(G)而不是fg(G)fg(G)。（2）两个特例：yf(Ga)为偶函数，则f(Ga)f(Ga)；yf(Ga)为奇函数，则f(Ga)f(aG)（3）yf(Ga)为偶（或奇）函数，等价于单层函数yf(G)关于直线Ga轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(aG)与yf(bG)关于直线G（ba）/2轴对称性质4、复合函数yf(aG)与yf(bG)关于点（ba）/2，0）中心对称推论1、复合函数yf(aG)与yf(aG)关于y轴轴对称推论2、复合函数yf(aG)与yf(aG)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数yf(G)定义域内的任一变量G点有下列条件之一成立，则函数yf(G)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(Ga)f(Ga)f(Ga)f(G)f(Ga)1/f(G)f(Ga)1/f(G)5、函数的对称性与周期性性质5若函数yf(G)同时关于直线Ga与Gb轴对称，则函数f(G)必为周期函数，且T2|ab|性质6、若函数yf(G)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(G)必为周期函数，且T2|ab|性质7、若函数yf(G)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线Gb轴对称，则函数f(G)必为周期函数，且T4|ab|6、函数对称性的应用（1）若,即（2）例题1、;2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。3、若的图像关于直线对称。设.（四）常用函数的对称性1、分段函数的奇偶性奇函数：偶函数：2、(1)的周期;对称中心;对称轴方程.(2)的周期;对称中心+;对称轴方程.(3)的周期;对称中心;3、（1）的对称中心为（h,k）,对称轴为G=h及y=k。（2）的对称轴为y=k;的对称轴为G=h;三、函数周期性的几个重要结论1、()的周期为，()也是函数的周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的周期为10、若11、有两条对称轴和周期推论：偶函数满足周期12、有两个对称中心和周期推论：奇函数满足周期13、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，则等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。2、比较函数值大小例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、的大小.解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，3、求函数解析式例4.（1989年高考题）设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.解：设时，有是以2为周期的函数，.例5设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得，故为偶函数.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上，故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，求数列的通项公式，并计算，由得总项数为500项，7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解：因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故天为星期四.8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A）3；（B）4；（C）6；（D）7.分析：运用方幂的周期性求值即可.解：，9、解“立几”题例11.ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）；（C）；（D）0.解：依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是例题与应用例1：f(G)是R上的奇函数f(G)=f(G+4)，G0，2时f(G)=G，求f(20XX)的值例2：已知f(G)是定义在R上的函数，且满足f(G+2)1f(G)=1+f(G)，f(1)=2，求f(20XX)的值。故f(20XX)=f(251×8+1)=f(1)=2例3：已知f(G)是定义在R上的偶函数，f(G)=f(4-G)，且当时，f(G)=2G+1，则当时求f(G)的解析式例4：已知f(G)是定义在R上的函数，且满足f(G+999)=，f(999+G)=f(999G)，试判断函数f(G)的奇偶性.例5：已知f(G)是定义在R上的偶函数，f(G)=f(4-G)，且当时，f(G)是减函数，求证当时f(G)为增函数例6：f(G)满足f(G)=-f(6-G)，f(G)=f(2-G)，若f(a)=-f(20XX)，a5，9且f(G)在5，9上单调.求a的值.例7：已知f(G)是定义在R上的函数，f(G)=f(4G)，f(7+G)=f(7G),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(G)=0至少有几个根？解：依题意f(G)关于G=2，G=7对称，类比命题2（2）可知f(G)的一个周期是10故f(G+10)=f(G)f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10上，方程f(G)=0至少两个根又f(G)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(G)=0在区间1000，1000上至少有1+=401个根.例8、函数yf(G)是定义在实数集R上的函数，那么yf(G4)与yf(6G)的图象之间（D）A关于直线G5对称B关于直线G1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数yf(G4)与yf(6G)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）例9、设f(G)是定义在R上的偶函数，其图象关于G1对称，证明f(G)是周期函数。（20XX年理工类第22题）例10、设f(G)是（，）上的奇函数，f(G2)f(G)，当0G1时f(G)G，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）例11、设f(G)是定义在R上的函数，且满足f(10G)f(10G)，f(20G)f(20G)，则f(G)是（C）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数例12、函数yf(G)是定义在实数集R上的函数，那么yf(G4)与yf(6G)的图象（）。A关于直线G5对称B关于直线G1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称例13、设f(G)是（，）上的奇函数，f(G2)f(G)，当0G1时，f(G)G，则f(7.5)=（）。A