【8A版】抽象函数奇偶性对称性周期性
12页1、【MeiWei81-优质实用版文档】抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期:设是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像:。2、奇偶函数:设若若。3、函数的对称性:(1)中心对称即点对称:点记住对称中心为:(0,0)、的函数的特征。(2)轴对称:对称轴方程为:。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。记住对称轴为:Y轴(G=0)、G轴(y=0)、直线、直线、直线的函数的特征。二、函数对称性的几个重要结论(一)函
2、数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、图象关于直线对称推论1:的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于G轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称(三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数yf(G)关于直线Ga轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(aG)f(aG)(2)f(2aG)f(G)(3)f(2aG)f(G)性质2若函数yf(G)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(aG)f(aG)(2)f(2aG)f(G)(3)f(2aG)f(G)易知,yf(G)为偶(或奇)函数分别为性质1
3、(或2)当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量G,均有fg(G)fg(G),则复数函数yfg(G)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量G,均有fg(G)fg(G),则复合函数yfg(G)为奇函数。说明:(1)复数函数fg(G)为偶函数,则fg(G)fg(G)而不是fg(G)fg(G),复合函数yfg(G)为奇函数,则fg(G)fg(G)而不是fg(G)fg(G)。(2)两个特例:yf(Ga)为偶函数,则f(Ga)f(Ga);yf(Ga)为奇函数,则f(Ga)f(aG)(3)yf(Ga)为偶(或奇)函数,等价于单层函数yf(G)关于直线Ga轴对称(或关于点(a,0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(aG)与yf(bG)关于直线G(ba)/2轴对称性质4、复合函数yf(aG)与yf(bG)关于点(ba)/2,0)中心对称推论1、复合函数yf(aG)与yf(aG)关于y轴轴对称推论2、复合函数yf(aG)与yf(aG)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf(G)定义域内的任一变量G点有下列条件之一成立,则函数yf(G
4、)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。f(Ga)f(Ga)f(Ga)f(G)f(Ga)1/f(G)f(Ga)1/f(G)5、函数的对称性与周期性性质5若函数yf(G)同时关于直线Ga与Gb轴对称,则函数f(G)必为周期函数,且T2|ab|性质6、若函数yf(G)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(G)必为周期函数,且T2|ab|性质7、若函数yf(G)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线Gb轴对称,则函数f(G)必为周期函数,且T4|ab|6、函数对称性的应用(1)若,即(2)例题1、;2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称:。3、若的图像关于直线对称。设.(四)常用函数的对称性1、分段函数的奇偶性奇函数:偶函数:2、(1)的周期;对称中心;对称轴方程.(2)的周期;对称中心+;对称轴方程.(3)的周期;对称中心;3、(1)的对称中心为(h,k),对称轴为G=h及y=k。(2)的对称轴为y=k;的对称轴为G=h;三、函数周期性的几个重要结论1、()的周期为,()也是函数的周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的
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