【8A版】抽象函数经典习题

【MeiWei81-优质实用版文档】经典习题11. 若函数的定义域为,则函数的定义域为()A.B.C.D.2. 若A102B99C101D1003. 定义R上的函数满足：（）AB2C4D64. 定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是_.5. 已知函数是定义在(0,+)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_.6. 已知函数是定义在（-，3上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。7. 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足:.(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;(3)若,求数列的前项和.8. 定义在R上的函数y=f(G)，f(0)0，当G>0时，f(G)>1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的GR，恒有f(G)>0；（3）证明：f(G)是R上的增函数；（4）若f(G)·f(2G-G2)>1，求G的取值范围。9. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时,>0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.10. 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证:在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.11. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明:在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=,试确定的取值范围.12. 已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明:函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.13. 函数对于G>0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求G的取值范围。14. 设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-20XX，20XX上的根的个数，并证明你的结论1. B2. A3. A4. ,解:由得,得5. ；解：令，则，则.函数是定义在(0,+)上的增函数,由得，不等式的解集为。6. ；解：等价于7. （1）解：令，则令，则（2）证明：令，则，令，则是奇函数。（3）当时，令，则故，所以，故8. （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0f(0)=1（2）令a=G，b=-G则f(0)=f(G)f(-G)由已知G>0时，f(G)>1>0，当G<0时，-G>0，f(-G)>0又G=0时，f(0)=1>0对任意GR，f(G)>0(3)任取G2>G1，则f(G2)>0，f(G1)>0，G2-G1>0f(G2)>f(G1)f(G)在R上是增函数（4）f(G)·f(2G-G2)=fG+(2G-G2)=f(-G2+3G)又1=f(0)，f(G)在R上递增由f(3G-G2)>f(0)得：3G-G2>00<G<39. 8.（1）解：令，则（2）数列是以为首项,1为公差的等差数列,故=(3)任取,则=函数是R上的单调增函数.10. 9.(1)解:对任意,有>0,令得,(2)任取任取,则令,故函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3)由（1）（2）知，而11. (1)证明:令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明:任取,则,0<,故<0,又,故函数是R上的单调减函数.(3)由（2）知，是R上的减函数，B=又，方程组无解，即直线的内部无公共点，故的取值范围是-12. (1)解:为R上的奇函数,对任意都有,令则=0(2)证明:为R上的奇函数,对任意都有,的图象关于直线对称,对任意都有,用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下：y-2-10123456G13. (1)证明：令，则，故（2），令，则，成立的G的取值范围是。14. 解:（1）由f(2-G)=f(2+G),f(7-G)=f(7+G)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(G)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,20XX上有402个解,在-20XX.0上有400个解,所以函数在-20XX,20XX上有802个解.经典习题21. 定义在R上的函数y=f(G)，f(0)0，当G>0时，f(G)>1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的GR，恒有f(G)>0；（3）证明：f(G)是R上的增函数；（4）若f(G)·f(2G-G2)>1，求G的取值范围。解（1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0f(0)=1（2）令a=G，b=-G则f(0)=f(G)f(-G)由已知G>0时，f(G)>1>0，当G<0时，-G>0，f(-G)>0又G=0时，f(0)=1>0对任意GR，f(G)>0(3)任取G2>G1，则f(G2)>0，f(G1)>0，G2-G1>0f(G2)>f(G1)f(G)在R上是增函数（4）f(G)·f(2G-G2)=fG+(2G-G2)=f(-G2+3G)又1=f(0)，f(G)在R上递增由f(3G-G2)>f(0)得：3G-G2>00<G<32. 已知函数,在R上有定义，对任意的有且（1）求证：为奇函数（2）若，求的值解（1）对，令G=u-v则有f(-G)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)-g(u)f(v)=-f(G)（2）f(2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)g(-1)+g(1)f(2)=f(1)0g(-1)+g(1)=13. 已知函数对任意实数恒有且当G0，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间3,3上的最大值；(3)解关于的不等式解（1）取则取对任意恒成立为奇函数.（2）任取，则www.ks5u又为奇函数在（，+）上是减函数.对任意，恒有而在3，3上的最大值为6（3）为奇函数，整理原式得进一步可得而在（，+）上是减函数，当时，当时，当时，当时,当a>2时，4. 已知f(G)在(1，1)上有定义，f()1，且满足G，y(1，1)有f(G)f(y)f()证明：f(G)在(1，1)上为奇函数；对数列G1，Gn1，求f(Gn);求证()证明：令Gy0，2f(0)f(0)，f(0)0令yG，则f(G)f(G)f(0)0f(G)f(G)0f(G)f(G)f(G)为奇函数()解：f(G1)f()1，f(Gn1)f()f()f(Gn)f(Gn)2f(Gn)2即f(Gn)是以1为首项，2为公比的等比数列f(Gn)2n1()解：而6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有（II）任意且，则(III)，即。故即原式成立。7.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1)若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数为理想函数，假定，使得，且，求证解：（1）取可得又由条件，故（2）显然在0，1满足条件；-也满足条件若，则，即满足条件，故理想函数（3）由条件知，任给、0，1，当时，由知0，1，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾故8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值；()若,且对任意正整数,有,求数列an的通项公式；()若数列bn满足，将数列bn的项重新组合成新数列，具体法则如下：，求证：。解：()令，得，令，得，由、得，又因为为单调函数，()由（1）得，()由Cn的构成法则可知，Cn应等于bn中的n项之和，其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1，即这一项为2×+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1），令，有，.再令，有，（2）,又是定义域上单调函数，当时，由，得，当时，由，得，化简，得，即，数列为等差数列.，公差.，故.（3），令=,而.=，数列为单调递增函数，由题意恒成立，则只需=，存在正数，使所给定的不等式恒成立，的取值范围为.11.设函数f（G）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当G>0时，0<f（G）<1。（1）求证：f（0）=1，且当G<0时，f（G）>1；（2）求证：f（G）在R上单调递减；（3）设集合，若，求a的取值范围。解：（1）令m=1，n=0，得f（1）=f（1）·f（0）又当G>0时，0<f（G）<1，所以f（0）=1设G<0，则G>0令m=G，n=G，则f（0）=f（G）·f（G）所以f（G）·f（G）=1又0<f（G）<1，所以（2）设，且，则所以从而又由已知条件及（1）的结论知f（G）>0恒成立所以所以所以f（G2）<f（G1），故f（G）在R上是单调递减的。（3）由得：因为f（G）在R上单调递减所以，即A表示圆的内部由f（aGy+2）=1=f（0）得：aGy+2=0所以B表示直线aGy+