概率论与数理统计第3版 教学课件 ppt 作者 宗序平 概率统计124

§12.4 平稳随机过程,平稳过程是什么意思？,定义 若随机过程,具有相同的分布函数,则称随机过程X(t)为严平稳过程.,与,和任意,对于任意时刻,若严平稳过程的均方值函数存在,则,均值函数为,均方值函数为,方差函数为,相关函数,定理若严平稳过程X(t)还是二阶矩过程,则 (1)X(t)的均值函数是一常数,记为 EX(t)=mX; (2)X(t)的相关函数RX(t1,t2)是单变量= t2-t1的,证明:(1) 因为X(t)与X(t+h)同分别, 令h=-t, 得,定义,若随机过程,二阶矩都存在,则它为二阶矩过程.,函数, 记为,同分布,令h=-t1得,同分布，,若对任意,定义,给定二阶矩过程,则称X(t)是一个宽平稳过程或,(常数),(仅仅是时间差函数),广义平稳过程,简称平稳过程.,例1 考察随机相位正弦波,的平稳性。 （式中a和b是常数,是在（0,2)上具有均匀分布的随机变量）,例2 设s(t)是一周期为T的函数, 是在区间(0,T)上服从均匀分布的随机变量,称X(t)=s(t+)为随机相位周期过程.试讨论它的平稳性.,例3 设X(t)是白噪声序列，,定义 设有随机变量序列X(t),tT tk|k=0,+1,+2,T ,且,则称X(t)为一白噪声序列。,称Y(t)为n阶滑动和过程MA(n),判断其平稳性。,解:,常数,仅是的函数.,故Y(t)是 平稳过程.,一、 相关函数的性质:,证明:先证柯西-许瓦茨不等式:,即,再由,由柯西-许瓦茨不等式,即,是非负定的,即对任意,和任意实值函数g(.)都有,证明:,可以证明:任一连续函数,只要具有非负定性,那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。,(5)如果平稳过程X(t)满足条件,则称它为周期是T0的平稳过程. 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,且其周期也是T0.,证明:,由柯西-许瓦茨不等式,(6) 平稳过程X (t), tT，当 的绝对值充,分大时，其状态X (t)与X (t)独立，即有,例5设平稳过程X (t), tT，当的绝对值充 分大时，X (t)与X (t)独立，其相关函数为,求X (t)的均值.,解 由性质得,这一性质很有趣，对于平稳过程的相关函数, 只要知道在 =0处连续，就可以得出对任意点处都连续，对于一般连续函数是不具备这样的性质的（其证明超出要求范围）.,(7) R()、B()在t处连续的充要条件为R()、B()在 =0处连续.,?,如何根据平稳过程的观察值估计过程的数字特征？,二、 各态历经性,定义 设X(t)是一个平稳过程,称,为X(t)在-T,T上的历时平均值.称,为X(t)在-T,T上的历时相关函数.,时如何取“极限”？,上式中的“积分”是什么概念？,当,定义设Xn,n=1.2是由二阶矩存在的随机变量组成的序列,X是一个随机变量,若,则称Xn,n=1,2均方收敛于X,记为,1 均方极限与均方积分,均方极限有如下性质:,1如果l.i.m.Xn=X, ,那么,证明:由柯西-许瓦茨不等式:,在上式中,取X=|Xn-X|,Y=1,则有,由,即,2.若l.i.m.Xn=X , l.i.m.Yn =Y,则:,证略,3.若l.i.m.Xn=X , l.i.m.Yn =Y ,则对任意常数a,b,证略,由1. 2. 3不难推出:当l.im.Xn=X , l.i.mYn =Y时,有,定义设X(t)是一个随机过程, 对区间a,b作分割,若,时,和式,均方极限存在,则称X(t)在a,b上均方可积,此极限称为X(t)的均方积分,且记为,即,均方可积准则: 随机过程X(t)在a,b上均方可积的充分条件是X(t)的自协方差函数CX(s,t)在as b, at b上黎曼可积. 如果X(t)在a,b上均方连续,即,则X(t)在a,b上均方可积,证略。,均方积分的性质:,证明:设,此性质说明求期望号与求积分号可交换次序.,存在.即,存在.由,得,为X(t)的时间均值，称,定义 称,为X(t)的时间相关函数.,设X(t)是平稳过程,易证,证明:,证略,证略,定义 设X(t)是一个平稳过程,若,以概率1成立,则称X(t)的均值具有各态历经性.若,以概率1成立,则称的自相关函数具有各态历经性.,若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,则称X(t)是(宽)各态历经过程,或者说X(t)具有遍历性.,二、 各态历经性(Ergodic),定理1 (均值各态历经定理) 平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是,其中,证明:,定理2 (自相关函数各态历经定理) 平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性的充要条件是,其中,证略,例：考察随机相位正弦波均值的各态历经性。 解：,故X(t)的均值具有各态历经性,输入：自然光,输出：,输入：x(t),输出：,频率1 频率2 . . .,Fourier 变换,三、 平稳过程的功率谱密度,2cos(t)+cos(t/2),0.5cos(t)+2cos(t/8),cos(t)+cos(t/8),设x(t)是周期为T的函数,若x(t)在-T/2,T/2上满足Dirichlet条件, 则在-T/2,T/2 上（x(t)的连续点上）x(t)可表示为,其中，,对于非周期的函数x(t),可以看成是以T为周期的函数当T时的近似.于是,1 时间函数的功率谱密度,其中，,若上述极限存在,则,综上所述,设x(t)是时间的函数,若x(t)满足Dirichlet条件,且绝对收敛，则（在x(t)的连续点上）x(t)可表示为,其中，,称为x(t)的Fourier变换或频谱 。,由Parseval等式,等式左边表示x(t)的总能量， 右边如何解释？,称 为x(t)的能谱密度。,？,？,对于能量无限的信号x(t)，该如何展开？,设x(t)是一个普通函数,记,则,称 为x(t)的平均功率.,由Parseval等式,*式两边同乘 并令 得,定义 称,为函数(信号)x(t)的平均功率谱密度,简称功率谱密度,2 平稳过程的功率谱密度,设X(t),tR是一个平稳过程,记,定义 称,为平稳过程 X(t),tR的功率谱密度.,平稳过程X(t),tR的功率谱密度有下列性质:,(1) SX()是 的实的、非负的偶函数, 即SX()0 ,且SX(-)= SX() .,证明:,(2) SX()和自相关函数 RX()是一傅里叶对,即,证明:,此变换的雅可比行列式为,由二重积分换元公式,记,即SX()是RX()的Fourier变换. 利用逆Fourier变换可得,例1 已知过程X(t)的谱密度,求平稳过程X(t)的自相关函数。,解: X(t)的自相关函数,在,处的留数之和.,注:留数定理：f(z)在围线C所包围的区域D内除 a1,an外解析，在闭域D=D+C上除a1,an外连续，则,其中，若a为f(z)的一级极点,根据留数定理有:,式中,x是实变量,z 是复变量,a 是大于零的常数.,则,上题中,如果,如果,EX,已知平稳过程X(t)的谱密度,求X(t)的自相关函数和均方值。,解: X(t)的自相关函数,需要指出，在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程，他们的自相关函数或谱密度在常义下的fourier变换或逆变换是不存在的（例如随机相位正弦波的自相关函数），但与通常频谱分析中遇到的情况一样，如果允许谱密度和自相关函数含有d函数，则在新的意义下，利用d函数的fourier变换性质，有关实际问题仍能得到圆满解决。,d函数的基本性质是：对任一在t=0连续的函数f(t)，有,据此，可以写出以下fourier变换对,例3 已知平稳过程 V(t)的自相关函数为,求所对应的谱密度 SV() ,解,EX 求白噪声过程的谱密度。,设有随机平稳过程X(t),tT,且,则称X(t)为一白噪声过程。,解,