概率论与数理统计第3版 教学课件 ppt 作者 宗序平 概率统计124
57页1、12.4 平稳随机过程,平稳过程是什么意思?,定义 若随机过程,具有相同的分布函数,则称随机过程X(t)为严平稳过程.,与,和任意,对于任意时刻,若严平稳过程的均方值函数存在,则,均值函数为,均方值函数为,方差函数为,相关函数,定理若严平稳过程X(t)还是二阶矩过程,则 (1)X(t)的均值函数是一常数,记为 EX(t)=mX; (2)X(t)的相关函数RX(t1,t2)是单变量= t2-t1的,证明:(1) 因为X(t)与X(t+h)同分别, 令h=-t, 得,定义,若随机过程,二阶矩都存在,则它为二阶矩过程.,函数, 记为,同分布,令h=-t1得,同分布,,若对任意,定义,给定二阶矩过程,则称X(t)是一个宽平稳过程或,(常数),(仅仅是时间差函数),广义平稳过程,简称平稳过程.,例1 考察随机相位正弦波,的平稳性。 (式中a和b是常数,是在(0,2)上具有均匀分布的随机变量),例2 设s(t)是一周期为T的函数, 是在区间(0,T)上服从均匀分布的随机变量,称X(t)=s(t+)为随机相位周期过程.试讨论它的平稳性.,例3 设X(t)是白噪声序列,,定义 设有随机变量序列X(t)
2、,tT tk|k=0,+1,+2,T ,且,则称X(t)为一白噪声序列。,称Y(t)为n阶滑动和过程MA(n),判断其平稳性。,解:,常数,仅是的函数.,故Y(t)是 平稳过程.,一、 相关函数的性质:,证明:先证柯西-许瓦茨不等式:,即,再由,由柯西-许瓦茨不等式,即,是非负定的,即对任意,和任意实值函数g(.)都有,证明:,可以证明:任一连续函数,只要具有非负定性,那么该函数必是某平稳过程的自相关函数。,(5)如果平稳过程X(t)满足条件,则称它为周期是T0的平稳过程. 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,且其周期也是T0.,证明:,由柯西-许瓦茨不等式,(6) 平稳过程X (t), tT,当 的绝对值充,分大时,其状态X (t)与X (t)独立,即有,例5设平稳过程X (t), tT,当的绝对值充 分大时,X (t)与X (t)独立,其相关函数为,求X (t)的均值.,解 由性质得,这一性质很有趣,对于平稳过程的相关函数, 只要知道在 =0处连续,就可以得出对任意点处都连续,对于一般连续函数是不具备这样的性质的(其证明超出要求范围).,(7) R()、B()在t处连续的充要条件
3、为R()、B()在 =0处连续.,?,如何根据平稳过程的观察值估计过程的数字特征?,二、 各态历经性,定义 设X(t)是一个平稳过程,称,为X(t)在-T,T上的历时平均值.称,为X(t)在-T,T上的历时相关函数.,时如何取“极限”?,上式中的“积分”是什么概念?,当,定义设Xn,n=1.2是由二阶矩存在的随机变量组成的序列,X是一个随机变量,若,则称Xn,n=1,2均方收敛于X,记为,1 均方极限与均方积分,均方极限有如下性质:,1如果l.i.m.Xn=X, ,那么,证明:由柯西-许瓦茨不等式:,在上式中,取X=|Xn-X|,Y=1,则有,由,即,2.若l.i.m.Xn=X , l.i.m.Yn =Y,则:,证略,3.若l.i.m.Xn=X , l.i.m.Yn =Y ,则对任意常数a,b,证略,由1. 2. 3不难推出:当l.im.Xn=X , l.i.mYn =Y时,有,定义设X(t)是一个随机过程, 对区间a,b作分割,若,时,和式,均方极限存在,则称X(t)在a,b上均方可积,此极限称为X(t)的均方积分,且记为,即,均方可积准则: 随机过程X(t)在a,b上均方可积的充分
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