高三数学总复习213函数模型及其应用教案新人教A版

2014届高三数学总复习 2.13函数模型及其应用教案 新人教A版考情分析考点新知函数模型应用问题的考查是江苏高考比较固定的考查题型，要非常重视，复习时应在准确把握各种函数的特征基础上，根据具体实际问题的情境，建立相关函数模型，利用函数知识分析解决问题 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 了解函数模型(如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用., 1. (必修1P110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m降低0.6 .已知山顶的温度是14.6 ，山脚的温度是26 ，则此山的高为_m.答案：1 900解析：(2614.6)÷0.6×1001 900.2. (必修1P71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为_件答案：1 331解析：1 000×(110%)31 331.3. (必修1P35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则该函数的定义域为_答案：(5，10)4. (必修1P110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v2 000ln.当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s.答案：e61解析：由2 000ln12 000，得1e6，所以e61.5. (必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P且该商品的日销售量Q与时间t(天)的函数关系为Qt40(0<t30，tN)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第_天答案：25解析：设日销量金额为W元，则WP·Q当0<t<25，tN时，W(t)<W(25)；当25t30，tN时，W(t)W(25)1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间(0，)上，尽管函数yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”随着x的增大，yax(a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于yxn(n>0)的增长速度；而ylogax(a>1)的增长速度会越慢因此，总会存在一个x0，当x>x0时，有ax0>x>logax0(比较ax0，x，logax0的大小)3. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题(2) 建立合适的函数模型解决问题(3) 建立拟合函数模型解决实际问题4. 函数建模的基本程序题型1一次、二次函数模型例1市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)目前该商品定价为每个a元，统计其销售数量为b个(1) 当k时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围. 解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为ya(1x%)·b(1kx%)kx2100(1k)x10 000(1) 当k时，y(x250x10 000)22 500(x50)2，因此当x50，即价格上涨50%时，y取最大值ab.(2) ykx2100(1k)x10 000，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x.在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在x|x>0的一个子集内增大时，y也增大，因此>0，解得0<k<1.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：(1) 令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x10.当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10 km.(2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(km)时，可击中目标题型2指数、对数函数模型例2设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系为ycekx，其中c、k为常量已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa，1000m高空的大气压为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强(保留3位有效数字)解：将x0时，y1.01×105Pa和x1000时，y0.90×105 Pa分别代入函数式ycekx，得 c1.01×105， e1 000k， k×ln，用计算器算得k1.154×104， y1.01×105×e1.154×104x，将x600代入上述函数式，得y9.42×104Pa，即在600m高空的大气压强约为9.42×104 Pa.我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫做14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a(与a之间满足aa·ekt)现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代解：因aa·ekt，即ekt.两边取对数，得lgktlge.又知14C的半衰期是5570年，即t5570时，.故lg5570klge，即klge.代入式，并整理，得t.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式现测得古莲子的是0.879，代入公式，得t1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物题型3分段函数模型例3已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解：(1) 当0<x40，WxR(x)(16x40)6x2384x40；当x>40，WxR(x)(16x40)16x7 360.所以，W(2) 当0<x40，W6(x32)26 104，所以WmaxW(32)6 104； 当x>40时，W16x7 360，由于16x21 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，W取最大值为5 760.综合知，当x32时，W取最大值为6 104.经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)，前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后20天价格为g(t)45(31t50，tN)(1) 写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式；(2) 求日销售额S的最大值解：(1)根据题意得S 即S (2)当1t30，tN时，S(t20)26400，当t20时，S的最大值为6400；当31t50，tN时，S90t9000为减函数，当t31时，S的最大值是6210， 6210<6400， 当t20时，日销售额S有最大值6400.题型4分式函数模型例4如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB距离分别为9m、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MNNE169.线段MN必须过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设ANx(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)(1) 用x的代数式表示AM；(2) 求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？解：(1) AM(10x30)(2) MN2AN2AM2x2. MNNE169， NEMN. SMN·NEMN2，定义域为10，30(3) S×，令S0，得x0(舍)或93.当10x<93时，S<0，S关于x为减函数；当93<x30时，S>0，S关于x为增函数 当x93时，S取得最小值故当AN长为93 m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN 上的某一点P处建一幢办公楼，其中MAAB，NBAB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.(1) 求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；(2) 当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？解：(1) (解法1)如图，连结OP，设AOP，则.在AOP中，由余弦定理得x212222×1×2cos54cos，在BOP中，由余弦定理得BP212222×1×2cos()54cos， BP210x2， y . ， x ， y(x)(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA2(m1)2n2，PB2(m1)2n2. m2n24，PAx， PB210x2(后面解法过程同解法1)(2) (解法1)y()x2(10x2) (5)(52)，当且仅当，即x，时取等号故当AP km时，“总噪音影响度”最小(解法2)由y，得y. x ， 令y0，得x，且当x时，y<0；当x(，时，y>0. x时，y取极小值，也即最小值故当AP km时，“总噪音影响度”最小【示例】(本题模