2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：综合检测

综合检测 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知 a，b，c，dR，且 ab0， ad C. D 0 两边同乘以 ab，bcad，选 B. 答案：B 2不等式|3x2|4 的解集是( ) Ax|x2 B x|x 2 x| 2 3 4，得 3x24 或 3x22 或 xS2 BS16 的解集为( ) A(，1(3，) B(，1)(3，) C3，) D(，13，) 解析：原不等式可化为以下几种： Error!Error!x3. 故选 B. 答案：B 7对任意实数 x，若不等式|x1|x2|k 恒成立，则 k 的取值范围是( ) AkB BAA. s 7s t 7t s 7st t 7ts st 7st 答案：B 10若 00 BFcos cos 0. 根据排序不等式：乱序和反序和， 则 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2) 1 2 答案：A 11已知 a2b2c29，x2y2z216，则 的最大值为( ) xa2yb2zc2 A5 B7 2 C9 D5 3 解析： xa2yb2zc2 x2y2z2a2b2c22axbycz ， 252axbycz axbycz axbycz2 12， x2y2z2a2b2c29 × 16 原式7， 252 × 1249 故最大值为 7，选 B. 答案：B 12记满足下列条件的函数 f(x)的集合为 M，当|x1|1，|x2|1 时，| f(x1)f(x2)|4|x1x2|，又令 g(x)x22x1，由 g(x)与 M 的关系是( ) Ag(x)M Bg(x)M Cg(x)M D不能确定 解析：g(x1)g(x2)x 2x1x 2x2(x1x2)·(x1x22)， 2 12 2 |g(x1)g(x2)|x1x2|·|x1x22|x1x2|(|x1|x2|2)4|x1x2|，所以 g(x) M. 答案：B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线 上) 13设 x，yR，且 xy0，则·的最小值为_ (x2 1 y2) ( 1 x24y2) 解析：54x2y2529，当且仅当 (x2 1 y2)( 1 x24y2) 1 x2y2 1 x2y2·4x2y2 x2y2 时等号成立 1 2 答案：9 14关于 x 的不等式|x1|x2|a2a1 的解集为空集，则实数 a 的取值 范围为_ 解析：|x1|x2|(x1)(x2)|1 且|x1|x2|a2a1 的解集 为空集， a2a12 时，原不等式为 2x1x22，b3，求 ab的最小值 1 a2b3 解析：因为 a2，b3，所以 a20，b30，所以 ab 1 a2b3 (a2)(b3) 535358(当且仅当 1 a2b3 3 a2b3· 1 a2b3 a3，b4 时，等号成立) 所以所求最小值为 8. 19(12 分)已知实数 x，y，z 满足 xyz2，求 2x23y2z2的最小值 解析：由柯西不等式，(xyz)2(x)2(y)2z2·，因 23 ( 1 2)2( 1 3)212 为 xyz2，所以 2x23y2z2， 24 11 当且仅当 ，即 x，y，z时，等号成立，所以 2x 1 2 3y 1 3 z 1 6 11 4 11 12 11 2x23y2z2的最小值为. 24 11 20(12 分)设 a，b，c 为正数，求证： 2(). a2 bc b2 ca c2 ab b2c2 bc c2a2 ca a2b2 ab 证明：由对称性，不妨设 abc0. 于是 abacbc，a2b2c2， . 1 bc 1 ca 1 ab 由排序原理知： ， a2 bc b2 ca c2 ab c2 bc a2 ca b2 ab ， a2 bc b2 ca c2 ab b2 bc c2 ca a2 ab 将上面两个同向不等式相加，得 2. ( a2 bc b2 ca c2 ab) b2c2 bc c2a2 ca a2b2 ab 21(13 分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b3b10100. (1)求数列bn的通项公式； (2)设数列an的通项 an1，记 Tn是数列an的前 n 项之积， 1 bn 即 Tna1a2a3an，试证明：Tn. bn1 解析：(1)设等差数列bn的公差为 d， 则Error!Error!，得 d2， bn2n1. (2)an11， 1 bn 1 2n1 Tna1a2a3an， (1 1 1)(1 1 3)(1 1 5) (1 1 2n1) 当 n1 时，T11 2，命题得证 1 13 假设当 nk(k1，kN)时命题成立，即成 (1 1 1)(1 1 3) (1 1 2k1)2k1 立， 当 nk1 时， Tn1 (1 1 1)(1 1 3) (1 1 2k1)(1 1 2k1) . 2k1(1 1 2k1) 2k2 2k1 ×， 2k2 2k12k3 Tn1 (1 1 1)(1 1 3) (1 1 2k1)(1 1 2k1) . 2k3 即 nk1 时命题成立 综上知，当 nN时，Tn. bn1 22(13 分)某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC80 米，塔所在的山高 OB220 米，OA200 米，图中所示的山坡可视为 直线 l，且点 P 在直线 l 上，l 与水平地面的夹角为 ，tan ，试问，此人距 1 2 水平地面多高时，观看塔的视角BPC 最大(不计此人的身高)? 解析：如图建立平面直角坐标系，则 A(200,0)，B(0,220)，C(0,300)直线 l 的 方程为 y(x200)tan ，即 y. x200 2 设点 P 的坐标为(x，y)，则 P(x200)，由经过两点的直线的斜率公式， (x， x200 2 ) 得 kPC. x200 2 300 x x800 2x kPB. x200 2 220 x x640 2x 由直线 PC 到直线 PB 的夹角的公式得(由图可知 kPC，kPB均小于 0，即 x200) 64x x2288x160 × 640 64 x160 × 640 x 288 要使 tanBPC 达到最大，只需 x288 达到最小，由基本不等式 160 × 640 x x2882288. 160 × 640 x160 × 640 当且仅当 x时上式取得等号，故当 x320 时，tanBPC 最大，这 160 × 640 x 时点 P 的纵坐标 y 为60. 320200 2 由实际问题知，0BPC ，所以 tanBPC 最大时BPC 最大故当此人距 2 水平地面 60 米高时，观看铁塔的视角BPC 最大