2017_2018学年高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习新人教A版选修4_

四 渐开线与摆线课时作业A组基础巩固1半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A B2C12 D14解析：当t0时，x0且y0.即点(0,0)在曲线上答案：C2已知一个圆的摆线的参数方程是(为参数)，则该摆线一个拱的高度是()A3 B6C9 D12解析：由圆的摆线的参数方程(为参数)知圆的半径r3，所以摆线一个拱的高度是3×26.答案：B3圆(为参数)的渐开线方程是()A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)解析：由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为(为参数)答案：C4有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为3，则点M的轨迹方程是()A. B.C. D.解析：易知点M的轨迹是摆线，圆的半径为3.故选C.答案：C5当2时，圆的渐开线(为参数)上的点是()A(6,0) B(6,6)C(6，12) D(，12)解析：当2时，故选C.答案：C6半径为5的圆的摆线的参数方程为_解析：由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为(为参数)答案：(为参数)7已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的点的坐标为.答案：28给出直径为8的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程解析：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系又圆的直径为8，所以半径为4，从而圆的渐开线的参数方程是(为参数)以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为(为参数)9求摆线(0t2)与直线y2的交点的直角坐标解析：当y2时，有2(1cos t)2，t或t.当t时，x2；当t时，x32.摆线与直线y2的交点为(2,2)，(32,2)B组能力提升1t时，圆的渐开线上的点的坐标为()A(5,5) B(5，5)C(5,5) D(5，5)解析：将t代入参数方程易得x5，y5.故选A.答案：A2已知摆线的参数方程为(为参数)，该摆线一个拱的宽度与高度分别是()A2，2 B2，4C4，2 D4，4解析：方法一由摆线参数方程可知，产生摆线的圆的半径r2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2r4，摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点的距离，令y0，即1cos 0，解得2k(kZ)，不妨分别取k0,1，得10，22，代入参数方程，得x10，x24，所以摆线与x轴两个相邻交点的距离为4，即摆线一个拱的宽度等于4；又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x1,0)，(x2,0)的中点，此时，所以摆线一个拱的高度为|y|2(1cos )4.答案：D3渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为_解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则其圆的方程为x2y236，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程y236，即1，对应的焦点坐标为(6，0)和(6，0)，它们之间的距离为12.答案：124已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析：圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直线为16，求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x4，y4，由此可得对应的坐标为(4，4)答案：16(4，4)5已知一个圆的平摆线过一定点(4,0)，请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程解析：令y0得r(1cos )0，即得cos 1，所以2k(kZ)则xr(2ksin 2k)4，即得r(kZ)又r>0，易知，当k1时，r取最大值为.圆的渐开线的参数方程是：(为参数)6已知圆C的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程解析：(1)圆C平移后的圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是(为参数)