2017_2018学年高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优化练习新人教A版选修4_
4页1、四 渐开线与摆线课时作业A组基础巩固1半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是()A B2C12 D14解析:当t0时,x0且y0.即点(0,0)在曲线上答案:C2已知一个圆的摆线的参数方程是(为参数),则该摆线一个拱的高度是()A3 B6C9 D12解析:由圆的摆线的参数方程(为参数)知圆的半径r3,所以摆线一个拱的高度是326.答案:B3圆(为参数)的渐开线方程是()A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)解析:由圆的参数方程知圆的半径为10,故其渐开线方程为(为参数)答案:C4有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动,在圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为3,则点M的轨迹方程是()A. B.C. D.解析:易知点M的轨迹是摆线,圆的半径为3.故选C.答案:C5当2时,圆的渐开线(为参数)上的点是()A(6,0) B(6,6)C(6,12) D(,12)解析:当2时,故选C.答案:C6半径为5的圆的摆线的参数方程为_解析:由圆的摆线的参数方程的概念即可得参数方程为(为参数)答案:(为参数)7已知圆的渐开线的参数方程是(为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是_
2、,当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析:圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程,得x,y,由此可得对应的点的坐标为.答案:28给出直径为8的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程解析:以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为x轴,建立直角坐标系又圆的直径为8,所以半径为4,从而圆的渐开线的参数方程是(为参数)以圆周上的某一定点为原点,以定直线所在的直线为x轴,建立直角坐标系,所以摆线的参数方程为(为参数)9求摆线(0t2)与直线y2的交点的直角坐标解析:当y2时,有2(1cos t)2,t或t.当t时,x2;当t时,x32.摆线与直线y2的交点为(2,2),(32,2)B组能力提升1t时,圆的渐开线上的点的坐标为()A(5,5) B(5,5)C(5,5) D(5,5)解析:将t代入参数方程易得x5,y5.故选A.答案:A2已知摆线的参数方程为(为参数),该摆线一个拱的宽度与高度分别是()A2,2 B2,4C4,2 D4,4解析:方法一由摆线参数方程可知,产生摆线的圆的半径r2,又由摆线的产生
3、过程可知,摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2r4,摆线的拱高等于圆的直径为4.方法二由于摆线的一个拱的宽度等于摆线与x轴两个相邻交点的距离,令y0,即1cos 0,解得2k(kZ),不妨分别取k0,1,得10,22,代入参数方程,得x10,x24,所以摆线与x轴两个相邻交点的距离为4,即摆线一个拱的宽度等于4;又因为摆线在每一拱的中点处达到最高点,不妨取(x1,0),(x2,0)的中点,此时,所以摆线一个拱的高度为|y|2(1cos )4.答案:D3渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为_解析:根据渐开线方程,知基圆的半径为6,则其圆的方程为x2y236,把横坐标伸长为原来的2倍,得到的椭圆方程y236,即1,对应的焦点坐标为(6,0)和(6,0),它们之间的距离为12.答案:124已知圆的渐开线的参数方程是(为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是_,当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析:圆的渐开线的参数方程由基圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为8,故直线为16,求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程,得x4,y4,由此可得对应的坐标为(4,4)答案:16(4,4)5已知一个圆的平摆线过一定点(4,0),请写出当圆的半径最大时圆的渐开线的参数方程解析:令y0得r(1cos )0,即得cos 1,所以2k(kZ)则xr(2ksin 2k)4,即得r(kZ)又r0,易知,当k1时,r取最大值为.圆的渐开线的参数方程是:(为参数)6已知圆C的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后圆的渐开线方程解析:(1)圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线xy60的距离为d6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线方程是(为参数)
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