2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第七篇第6节　空间向量的运算及应用

第 6 节 空间向量的运算及应用 【选题明细表】 知识点、方法题号 夹角和距离 5,7,8,10 空间向量的线性运算 6,13 共线、共面向量定理及应用 1,9 空间向量的数量积及应用 2,3,4,11,12,14 基础巩固(时间:30 分钟) 1.在下列命题中: 若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; 若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; 若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; 已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在 实数 x,y,z 使得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是( A ) (A)0(B)1 (C)2(D)3 解析: a 与 b 共线,a,b 所在直线也可能重合,故不正确;根据自由 向量的意义知,空间任意两向量 a,b 都共面,故错误;三个向量 a,b,c 中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当 a,b,c 不共面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故不 正确,综上可知四个命题中正确的个数为 0,故选 A. 2.在空间四边形 ABCD 中,·+·+·等于( B ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)不确定 解析:令=a,=b,=c,则·+·+· =a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a) =a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0. 3.如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点, cos=,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系,则点 E 的坐标为( A ) (A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,)(D)(1,1,2) 解析:设 PD=a, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,), 所以=(0,0,a),=(-1,1,). 因为 cos=, 所以=a·, 所以 a=2. 所以 E 的坐标为(1,1,1). 4.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分 别是 BC,AD 的中点,则·的值为( C ) (A)a2 (B) a2 (C) a2 (D) a2 解析:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且 a,b,c 三向量两 两夹角为 60°. = (a+b),= c, 所以·= (a+b)·c= (a·c+b·c)= (a2cos 60°+a2cos 60°)= a2. 5.导学号 38486158 如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且 AOB=AOC=,则 cos的值为( A ) (A)0 (B) (C)(D) 解析:设=a,=b,=c, 由已知条件=,且|b|=|c|, ·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a|c|-|a|b|=0, 所以 cos=0. 6.在四面体 OABC 中,=a,=b,=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 = .(用 a,b,c 表示). 解析:=+=+=+× (+) =+=+ (-)+ (-) =+=a+b+c. 答案: a+b+c 7.若向量 a=(1,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为,则 = . 解析:由条件知|a|=,|b|=3, a·b=6-. 所以 cos=. 整理得 552+108-4=0, 解得 =-2 或 =. 答案:-2 或 8.如图所示,已知二面角 l 的平面角为 (0,), ABBC,BCCD,AB 在平面 内,BC 在 l 上,CD 在平面 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为 . 解析:=+, 所以=+2·+2·+2· =1+1+1+2cos(-)=3-2cos , 所以|=,即 AD 的长为. 答案: 能力提升(时间:15 分钟) 9.导学号 38486159O 为空间任意一点,若=+,则 A,B,C,P 四点( B ) (A)一定不共面(B)一定共面 (C)不一定共面(D)无法判断 解析: 因为=+,且+=1.所以 P,A,B,C 四点共面. 10.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a,点 M 在 AC1上且=,N 为 B1B 的中点,则|为( A ) (A)a (B)a (C)a (D)a 解析:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设 M(x,y,z), 因为点 M 在 AC1上且=, 所以(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z), 所以 x=a,y=,z=.所以 M(, ,), 所以|=a. 11.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,若动点 P 在线段 BD1上运动,则 ·的取值范围是 . 解析:如图所示, 由题意,设=,其中 0,1,·=·(+) =·(+)=+·=1+·(-)=1-0,1.因此 ·的取值范围是0,1. 答案:0,1 12.(2017·江苏徐州模拟)已知 O 点为空间直角坐标系的原点,向量 =(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且点 Q 在直线 OP 上运动, 当·取得最小值时,的坐标是 . 解析:因为点 Q 在直线 OP 上,所以设点 Q(,2), 则=(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2), ·=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)·(2-2)=62- 16+10=6(-)2-. 即当 =时,·取得最小值-.此时=(, ,). 答案:(, ,) 13.如图,已知平行六面体 ABCDABCD,E,F,G,H 分别是棱 AD,DC,CC 和 AB 的中点,求证 E,F,G,H 四点共面. 证明:取=a,=b,=c, 则=+ =+2+ =b-a+2a+ (+) =b+a+ (b-a-c-a) =b-c, 所以与 b,c 共面, 即 E,F,G,H 四点共面. 14.已知 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得b?(O 为原点) 解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|=5. (2)令=t(tR), 所以=+=+t =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t), 若b,则·b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t=. 所以-3+t=-,-1-t=-,4-2t=, 因此存在点 E,使得b,此时 E 点的坐标为(-,-,).