2017-2018学年数学人教A版选修4-4优化练习：第一讲 二　第二课时　极坐标和直角坐标的互化

课时作业 A 组 基础巩固 1将极坐标化为直角坐标为( ) (2， 3 2) A(0,2) B(0，2) C(2,0) D(2,0) 解析：由题意可知，x2cos0，y2sin2. 3 2 3 2 答案：B 2把点的直角坐标(3，4)化为极坐标(，)(限定 0,02)，则( ) A3，4 B5，4 C5，tan D5，tan 4 3 4 3 解析：由公式得 5， x2y23242 tan ，0,2) y x 4 3 答案：D 3在极坐标系中，点 A与 B之间的距离为( ) (2， 6) (2， 6) A1 B2 C3 D4 解析：方法一 点 A与 B的直角坐标分别为(，1)与(，1)， (2， 6) (2， 6)33 于是|AB| 2. 3 32112 方法二 由点 A与 B知， (2， 6) (2， 6) |OA|OB|2，AOB ， 3 于是AOB 为等边三角形，所以|AB|2. 答案：B 4若 A，B 两点的极坐标为 A(4,0)，B，则线段 AB 的中点的极坐标为( ) (4， 2) A. B. (2 2， 4) ( 2， 4) C. D. (4， 4) (2， 4) 解析：由题易知点 A，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段 AB 的中点的直角坐标 为(2,2) 由 2x2y2，得 2. 2 因为 tan 1，且点(2,2)在第一象限，所以 .故线段 AB 的中点的极坐标为 2 2 4 . (2 2， 4) 答案：A 5在极坐标系中，点 A，B，则线段 AB 中点的极坐标为( ) ( 2 2 ， 6) ( 2 2 ，2 3) A. B. ( 1 2， 5 12) (1， 5 12) C. D. ( 2 2 ，5 12) ( 2 2 ， 3) 解析：由点 A，B知，AOB ，于是AOB 为等腰直角三角形， ( 2 2 ， 6) ( 2 2 ，2 3) 2 所以|AB|×1， 2 22 设线段 AB 的中点为 C， 则|OC| ，极径 OC 与极轴所成的角为， 1 2 5 12 所以线段 AB 中点 C 的极坐标为. ( 1 2， 5 12) 答案：A 6极坐标系中，直角坐标为(1，)的点的极角为_ 3 解析：直角坐标为(1，)的点在第四象限， 3 tan ，所以 2k (kZ) 3 3 答案：2k (kZ) 3 7极坐标系中，点的直角坐标为_ (6， 7 3) 解析：xcos 6cos3， 7 3 ysin 6sin3， 7 33 点的极坐标化为直角坐标为(3,3) (6， 7 3)3 答案：(3,3) 3 8平面直角坐标系中，若点 P经过伸缩变换Error!Error!后的点为 Q，则极坐标系中， (3， 7 2) 极坐标与 Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于_ 解析：因为点 P经过伸缩变换Error!Error!后的点为 Q，则极坐标系中，极坐标 (3， 7 2) (6， 7 6) 与 Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于 6|sin|3. 7 6 答案：3 9已知点的极坐标分别为 A，B，C，D，求它们的直 (3， 4) (2， 2 3) ( 3 2 ，) (4， 2) 角坐标 解析：根据 xcos ，ysin ，得 A，B(1，)， ( 3 2 2 ，3 2 2 ) 3 C，D(0，4) ( 3 2 ，0) 10分别将下列点的直角坐标化为极坐标(0,02) (1)(1,1)；(2)(4，4)； 3 (3)；(4)(，) ( 3 2 ，3 2)62 解析：(1)， 12122 tan 1，0,2)， 由于点(1,1)在第二象限，所以 ， 3 4 直角坐标(1,1)化为极坐标为. ( 2，3 4) (2)8， 424 32 tan ，0,2)， 4 3 43 由于点(4，4)在第四象限 3 所以 ， 5 3 直角坐标(4，4)化为极坐标为. 3 (8， 5 3) (3)， ( 3 2)2( 3 2)2 3 2 2 tan 1，0,2)， 3 2 3 2 由于点在第一象限， ( 3 2 ，3 2) 所以 ， 4 直角坐标化为极坐标为. ( 3 2 ，3 2) ( 3 2 2 ， 4) (4)2， 62 222 tan ，0,2)， 2 6 3 3 由于点(，)在第三象限， 62 所以 ， 7 6 直角坐标(，)化为极坐标为. 62 (2 2， 7 6) B 组 能力提升 1在极坐标系中，若 A，B，求ABO 的面积(O 为极点)为( ) (3， 3) (4， 7 6) A2 B3 C4 D6 解析：由题意可知，在ABO 中，OA3，OB4，AOB ， 7 6 3 5 6 所以ABO 的面积为 S |OA|·|OB|·sinAOB ×3×4×sin ×3×4× 3. 1 2 1 2 5 6 1 2 1 2 答案：B 2已知 A，B 的极坐标分别是和，则 A 和 B 之间的距离等于( ) (3， 4) (3， 13 12) A. B. 18 6 2 18 6 2 C. D. 3 63 2 2 3 63 2 2 解析：A，B 两点在极坐标系中的位置，如图 则由图可知AOB . 13 12 4 5 6 在AOB 中，|AO|BO|3， 所以由余弦定理得 |AB|2|OB|2|OA|22|OB|·|OA|·cos992×9× 5 6 ( 3 2) 189 (1)2. 3 9 23 所以|AB|. 3 63 2 2 答案：C 3已知点 P 的直角坐标按伸缩变换Error!Error!变换为点 P(6，3)，限定 0,02 时，则点 P 的极坐标为_ 解析：设点 P 的直角坐标为(x，y)，由题意得Error!Error! 解得Error!Error! 点 P 的直角坐标为(3，)， 3 2，tan . 32 323 3 3 02，点 P 在第四象限， ， 11 6 点 P 的极坐标为. (2 3， 11 6 ) 答案：( 2 3，11 6 ) 4在极坐标系中，已知两点 A，B 的极坐标分别为，则AOB(其中 O 为 (3， 3) (4， 6) 极点)的面积为_ 解析：如图所示，|OA|3，|OB|4，AOB ，所以 SAOB |OA|·|OB|·sin 3 6 6 1 2 AOB ×3×4× 3. 1 2 1 2 答案：3 5在极坐标系中，已知三点 M，N(2,0)，P.判断 M，N，P 三点是否共 (2， 3) (2 3， 6) 线？说明理由 解析：将极坐标 M，N(2,0)，P分别化为直角坐标，得 M(1，)， (2， 3) (2 3， 6)3 N(2,0)，P(3，) 3 方法一 因为 kMNkPN，所以 M，N，P 三点共线 3 方法二 因为(1，)所以，所以 M，N，P 三点共线 MN NP 3 MN NP 6已知点 M 的极坐标为，极点 O在直角坐标系 xOy 中的直角坐标为(2,3)，极 (4， 6) 轴平行于 x 轴，极轴的方向与 x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点 M 的直 角坐标 解析：以极点 O为坐标原点，极轴方向为 x轴正方向，建立 新直角坐标系 xOy，设点 M 的新直角坐标为(x，y)，于是 x4cos 2，y4sin 2， 63 6 由 O(x，y)O(0,0)， O(x，y)O(2,3)， 易得 O(x，y)与 O(x，y)的关系为 Error!Error!于是点 M(x，y)为 Error!Error! 所以点 M 的直角坐标为(22,5) 3