2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第七篇第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第 3 节 空间点、直线、平面之间的位置关系 【选题明细表】 知识点、方法题号 空间两直线的位置关系 1,3,4,7,11 平面的基本性质及应用 2,5,9 异面直线所成的角 6,8,10,12,13 基础巩固(时间:30 分钟) 1.已知空间三条直线 l,m,n,若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( D ) (A)m 与 n 异面 (B)m 与 n 相交 (C)m 与 n 平行 (D)m 与 n 异面、相交、平行均有可能 解析:在如图所示的长方体中,m,n1与 l 都异面,但是 mn1,所以 A,B 错误;m,n2与 l 都异面,且 m,n2也异面,所以 C 错误. 2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点 不共面的一个图是( D ) 解析: 在 A 图中分别连接 PS,QR,易证 PSQR, 所以 P,Q,R,S 共面; 在 C 图中分别连接 PQ,RS,易证 PQRS,所以 P,Q,R,S 共面; 在 B 图中过 P,Q,R,S 可作一正六边形,故四点共面; D 图中 PS 与 QR 为异面直线,所以四点不共面,故选 D. 3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正 方体中,l1与 l2( D ) (A)互相平行 (B)异面且互相垂直 (C)异面且夹角为 (D)相交且夹角为 解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重合.故 l1 与 l2相交,连接 AD,ABD 为正三角形,所以 l1与 l2的夹角为.故选 D. 4.导学号 38486138 已知空间四边形 ABCD 中,M,N 分别为 AB,CD 的中 点,则下列判断:MN (AC+BD);MN (AC+BD);MN= (AC+BD); MN (AC+BD). 其中正确的是( D ) (A)(B)(C) (D) 解析:如图,取 BC 的中点 O,连接 MO,NO,则 OM=AC,ON=BD. 在MON 中,MNOM+ON= (AC+BD), 所以正确. 5.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,P,Q,R 分别是 AB,AD,B1C1的中点,那么正 方体过 P,Q,R 的截面图形是( D ) (A)三角形(B)四边形 (C)五边形(D)六边形 解析:如图所示,作 RGPQ 交 C1D1于 G,连接 QP 并延长与 CB 延长线 交于 M,且 QP 反向延长线与 CD 延长线交于 N, 连接 MR 交 BB1于 E,连接 PE,则 PE,RE 为截面与正方体的交线,同理 连接 NG 交 DD1于 F,连接 QF,FG,则 QF,FG 为截面与正方体的交线,所 以截面为六边形 PQFGRE. 6.导学号 38486139 如图是三棱锥 DABC 的三视图,点 O 在三个视图 中都是所在边的中点,则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于( A ) (A)(B)(C)(D) 解析:由题意得如图的直观图,从 A 出发的三条线段 AB,AC,AD 两两垂 直且 AB=AC=2,AD=1,O 是 BC 中点,取 AC 中点 E,连接 DE,DO,OE,则 OE=1.又可知 AE=1,由于 OEAB,故DOE 或其补角即为所求两异面 直线所成的角.在直角三角形 DAE 中,DE=,由于 O 是中点,在直角三 角形 ABC 中可以求得 AO=.在直角三角形 DAO 中可以求得 DO=,又 EO=1,所以DOE 为直角三角形,cosDOE=,故所求余弦值为, 故选 A. 7.如图所示,在三棱锥 ABCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,DA 的中 点,则当 AC,BD 满足条件 时,四边形 EFGH 为菱形,当 AC,BD 满足条件 时,四边形 EFGH 是正方形. 解析:易知 EHBDFG,且 EH=BD=FG,同理 EFACHG,且 EF=AC=HG, 显然四边形 EFGH 为平行四边形.要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EF=EH,即 AC=BD;要使平行四边形 EFGH 为正方形需满足 EF=EH 且 EFEH,即 AC=BD 且 ACBD. 答案:AC=BD AC=BD 且 ACBD 8.导学号 38486140(2017·安庆市二模)正四面体 ABDC 中,E,F 分别 为边 AB,BD 的中点,则异面直线 AF,CE 所成角的余弦值为 . 解析:如图,连接 CF,取 BF 的中点 M,连接 CM,EM,则 MEAF,故 CEM(或其补角)即为所求的异面直线所成的角. 设这个正四面体的棱长为 2,在ABD 中,AF=CE=CF,EM=,CM=. 所以 cosCEM=. 答案: 能力提升(时间:15 分钟) 9.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确的是( A ) (A)A,M,O 三点共线 (B)A,M,O,A1不共面 (C)A,M,C,O 不共面 (D)B,B1,O,M 共面 解析:连接 A1C1,AC,则 A1C1AC,所以 A1,C1,C,A 四点共面,所以 A1C 平面 ACC1A1, 因为 MA1C,所以 M平面 ACC1A1,又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交 线上,又 A 在平面 ACC1A1和平面 AB1D1的交线上.所以 A,M,O 三点共线. B,C 不正确,BB1与 AO 异面,所以 D 不正确.故选 A. 10.长方体 ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E 为 AB 的中 点,CE=3,异面直线 A1C1与 CE 所成角的余弦值为,且四边形 ABB1A1 为正方形,则球 O 的直径为( C ) (A)4 (B) (C)4 或(D)4 或 5 解析:设 AE=x,则 BC=,AC=. 因为 A1C1AC,所以ACE 为异面直线 A1C1与 CE 所成的角, 由余弦定理得=,所以 x4-7x2+6=0,所以 x2=1 或 6,所 以 x=1 或. 设球 O 的半径为 R,则 2R=4 或.故选 C. 11.如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中 点,给出以下四个结论:直线 AM 与直线 C1C 相交;直线 AM 与直线 BN 平行;直线 AM 与直线 DD1异面;直线 BN 与直线 MB1异面.其中 正确结论的序号为 .(把你认为正确的结论的序号都填上) 解析:AM 与 C1C 异面,故错;AM 与 BN 异面,故错.易知正确. 答案: 12.在正三棱柱 ABCA1B1C1中,D 是 AC 的中点,AA1AB=1,则异面 直线 AB1与 BD 所成的角为 . 解析:如图,取 A1C1的中点 D1, 连接 B1D1, 因为 D 是 AC 的中点,所以 B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线 AB1 与 BD 所成的角.连接 AD1,设 AB=a,则 AA1=a,所以 AB1=a,B1D1=a, AD1=a. 所以,在AB1D1中,由余弦定理得 cosAB1D1=,所以AB1D1=60°. 答案:60° 13.导学号 38486141 如图,在体积为的正三棱锥 ABCD 中,BD 长为 2,E 为棱 BC 的中点,求: (1)异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值; (2)正三棱锥 ABCD 的表面积. 解:(1)过点 A 作 AO平面 BCD,垂足为 O,则 O 为BCD 的中心,由× ×22×3×AO=,得 AO=1.又在正三角形 BCD 中得 OE=1,所以 AE=. 取 BD 中点 F,连接 AF,EF,故 EFCD, 所以AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角.在AEF 中, AE=AF=,EF=. 所以 cosAEF=.所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角 的余弦值为. (2)由 AE=可得正三棱锥 ABCD 的侧面积为 S=3··BC·AE=×2×=3, 所以正三棱锥 ABCD 的表面积为 S=3+·BC2=3+3.