2019届高三人教A版数学一轮复习练习：第八章 解析几何 第7节

第八章第八章 第第 7 节节 基础对点练 1(导学号 14577769)(2018·沈阳市监测)抛物线 y4ax2(a0)的焦点坐标是( ) A(0，a) B(a,0) C. D. (0， 1 16a) ( 1 16a，0) 解析：C 将 y4ax2(a0)化为标准方程得 x2y(a0)，所以焦点坐标为， 1 4a (0， 1 16a) 所以选 C. 2(导学号 14577770)已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点， 则抛物线 C 的方程是( ) Ay2±2x By2±2x 2 Cy2±4x Dy2±4x 2 解析：D 因为双曲线的焦点为(，0)，(，0)， 22 设抛物线方程为 y2±2px(p0)，则 ， p 22 所以 p2， 2 所以抛物线方程为 y2±4x. 2 3(导学号 14577771)(2016·高考全国卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4，|DE|2，则 C 的焦点到准线的距离 25 为( ) A2 B4 C6 D8 解析：B 由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可 25 取 A， ( 4 p，2 2) D，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得 p4，所以选 B. ( p 2， 5) 16 p2 p2 4 4(导学号 14577772)(2018·汕头市一模)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且|AK|AF|，则AFK 的面积为( ) 2 A4 B8 C16 D32 解析：B 抛物线 C：y28x 的焦点为 F(2,0)，准线为 x2，K(2,0) 设 A(x0，y0)，过 A 点向准线作垂线 AB，则 B(2，y0) |AK|AF|，又 AFABx0(2)x02， 2 由|BK|2|AK|2|AB|2得 y (x02)2，即 8x0(x02)2，解得 A(2，±4)， 2 0 AFK 的面积为 |KF|·|y0| ×4×48.故选 B. 1 2 1 2 5(导学号 14577773)(2018·上饶市一模)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，点 M(2,2)过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若·0，则 k( ) MA MB A. B. 2 2 2 C. D2 1 2 解析：D 由抛物线 C：y28x 得焦点 F(2,0) 由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 yk(x2)， 代入抛物线方程，得到 k2x2(4k28)x4k20，0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，x1x24， 8 k2 y1y2 ，y1y216. 8 k 又·0，·(x12，y12)·(x22，y22)40， MA MB MA MB 16 k2 16 k k2.故选 D. 6(导学号 14577774)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 x2 a2 y2 b2 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为，则该抛物线的标准方程是 _ . 3 解析：把 x 代入 y± x，解得 y±， p 2 b a pb 2a 所以|AB|. pb a 因为AOB 的面积为，所以 × ×， 3 1 2 p 2 pb a3 由 e 2.解得 ，所以×，解得 p2， c a 1(b a)2 b a3 p2 433 所以该抛物线的标准方程是 y24x. 答案：y24x 7(导学号 14577775)(2018·南京市、盐城市二模)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y26x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足若直线 AF 的斜率 k，则线段 PF 的长为 _ . 3 解析：抛物线方程为 y26x，焦点 F(1.5,0)，准线方程为 x1.5. 直线 AF 的斜率为，直线 AF 的方程为 y(x1.5)， 33 当 x1.5 时，y3，可得 A 点坐标为(1.5,3) 33 PAl，A 为垂足， P 点纵坐标为 3，代入抛物线方程，得 P 点坐标为(4.5,3)， 33 |PF|PA|4.5(1.5)6. 答案：6 8(导学号 14577776)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点， 已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是 _ cm. 解析：设抛物线方程为 y22px(p0)，点(40,30)在抛物线 y22px 上， 9002p×40.p. . 45 4 p 2 45 8 因此，光源到反射镜顶点的距离为cm. 45 8 答案： 45 8 9(导学号 14577777)已知抛物线 x22py(p0)，F 为其焦点，过点 F 的直线 l 交抛物 线于 A、B 两点，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 OA 于点 C，如图所示 (1)求点 C 的轨迹方程； (2)直线 m 是抛物线的不与 x 轴重合的切线，切点为 P，M 与直线 m 交于点 Q，求证： 以线段 PQ 为直径的圆过点 F. 解：(1)由题意可得：直线 l 的斜率存在，设方程为：ykx . p 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，动点 C(x，y)， 由Error!， 可得 x22pkxp20，可得 x1x2p2. OA：yxx，OB：xx2. y1 x1 x1 2p 由Error!可得 y·x2 ， x1 2p p 2 即点 C 的轨迹方程为 y . p 2 (2)证明：设直线 m 的方程为 ykxm， 由Error!可得 x22pkx2pm0 可得 4p2k28pm，因为直线 m 与抛物线相切， 0，可得 pk22m0，可得 P(pk，m)， 又由Error!，可得 Q， ( p2m 2k ，p 2) · FP FQ (pk，m p 2)( p2m 2k ，p 2) (p2m)pm0，可得 FPFQ， p 2 p2 2 以线段 PQ 为直径的圆过点 F. 10(导学号 14577778)(2018·南阳、信阳等六市一模)如图，抛物线 C：y22px 的焦点 为 F，抛物线上一定点 Q(1,2) (1)求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程； (2)过焦点 F 的直线(不经过 Q 点)与抛物线交于 A，B 两点，与准线 l 交于点 M，记 QA，QB，QM 的斜率分别为 k1，k2，k3，问是否存在常数 ，使得 k1k2k3成立？若存 在 ，求出 的值；若不存在，说明理由 解：(1)把 Q(1,2)代入 y22px，得 2p4，所以抛物线方程为 y24x， 准线 l 的方程为 x1. (2)由条件可设直线 AB 的方程为 yk(x1)，k0. 由抛物线准线 l：x1，可知 M(1，2k)，又 Q(1,2)，所以 k3k1. 22k 11 把直线 AB 的方程 yk(x1)，代入抛物线方程 y24x， 并整理，可得 k2x22(k22)xk20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，x1x21. 2k24 k2 又 Q(1,2)，故 k1，k2. 2y1 1x1 2y2 1x2 因为 A，F，B 三点共线，所以 kAFkBFk，即k， y1 x11 y2 x21 所以 k1k2 2y1 1x1 2y2 1x2 2(k1)， 2kx1x22k2x1x22k4 x1x2x1x21 即存在常数 2，使得 k1k22k3成立 能力提升练 11(导学号 14577779)(2018·上海市模拟)已知动点 P(x，y)满足 5|3x4y1|，则点 P 的轨迹是( ) x12y22 A直线 B抛物线 C双曲线 D椭圆 解析：B 动点 P(x，y)满足 5|3x4y1|， x12y22 可得，表示动点 P(x，y)到(1,2)与到直线 3x4y10 x12y22 |3x4y1| 5 距离相等，又(1,2)不在直线 3x4y10 上，则点 P 的轨迹是以(1,2)为焦点以直线 3x4y10 为准线的抛物线故选 B. 12(导学号 14577780)(2018·白山市一模)已知抛物线 y26x 的焦点为 F，准线为 l， 点 P 为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为 A，|PF|2，则直线 AF 的倾斜角为 ( ) A. B. 4 5 2 3 C. D. 3 4 5 6 解析：D 如图，设 P(x0，y0)，因为|PF|2x01.5，所以 x00.5. 所以|BF|1.50.51，所以BPF ，从而PFB ， 6 3 因为|PA|PF|2，所以PAFPFA. 又PAFAFB，所以AFB PFB ，所以 AF 的倾斜角为.故选 D. 1 2 6 5 6 13(导学号 14577781)(2018·长沙市模拟)已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ， 1 2 E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB| _ . 解析：椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点(c,0)与抛物线 C：y28x 的 1 2 焦点(2,0)重合，可得 c2，a4，b212，椭圆的标准方程为1.抛物线的准线方 x2 16 y2 12 程为 x2，联立Error!， 解得 y±3， A(2,3)，B(2，3)，则|AB|3(3)6. 答案：6 14(导学号 14577782)(2018·遂宁市二诊)已知点 F(0,1)为抛物线 x22py 的焦点 (1)求抛物线 C 的方程； (2)点 A、B、C 是抛物线上三点且0，求ABC 面积的最大值 FA FB FC 解：(1)由题意知 1，即 p2， p 2 抛物线 C 的方程为：x24y； (2)令 A，B，C，不妨设直线 AB 与 y 轴交于点 D(0，yD)， (x1， x2 1 4) (x2， x2 2 4) (x3， x2 3 4) 即 yD. x2 2 4 x2 1 4 x2x1 yDx2 1 4 0x1 x1x2 4 又且0， FA FB FC 0，1. x1x2x3 3 x2 1 4 x2 2 4 x2 3 4 3 从而 x1x2x3，x x 12x 2 12 22 3 2x1x2(x1x2)2(x x )2x 12，即 x1x2x 6. 2 12 22 32 3 SABC3SABF3× |1yD|x2x1|， 1 2 S 2(x x 2x1x2) (4x 6)2(12x 2x 12) 2 ABC 9 4(1 x1x2 4 ) 2 12 2 9 64