2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第三讲 二　一般形式的柯西不等式

课时作业 A 组 基础巩固 1已知 x2y2z21，则 x2y2z 的最大值为( ) A1 B2 C3 D4 解析：由柯西不等式得 (x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9， 所以3x2y2z3. 当且仅当 x 时，等号成立 y 2 z 2 所以 x2y2z 的最大值为 3. 答案：C 2n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A1 Bn Cn2 D 1 n 解析：设 n 个正数为 x1，x2，xn， 由柯西不等式，得 (x1x2xn)( 1 x1 1 x2 1 xn) 2(111)2n2. ( x1 × 1 x1 x2 × 1 x2 xn × 1 xn) 当且仅当 x1x2xn时取等号 答案：C 3设 a、b、c 为正数，则(abc)·( )的最小值为( ) 4 a 9 b 36 c A11 B121 C49 D7 解析：(abc)·Error!Error!2121. ( 4 a 9 b 36 c) 答案：B 4设 a，b，c 均为正数且 abc9，则 的最小值为( ) 4 a 9 b 16 c A81 B9 C7 D49 解析：考虑以下两组向量： u，v(， ，) ( 2 a， 3 b， 4 c)abc 由(u·v)2|u|2·|v|2得 2 ( 2 a· a 3 b· b 4 c· c) (abc)， ( 4 a 9 b 16 c) 当且仅当，即 a2，b3，c4 时取等号， a2 4 b2 9 c2 16 可得·9(234)281， ( 4 a 9 b 16 c) 所以 9. 4 a 9 b 16 c 81 9 答案：B 5设非负实数 1，2，n满足 12n1， 则 yn 的最小值为( ) 2 21 2 22 2 2n A. B n 2n1 n 2n1 C. D n1 2n1 2n2 2n1 解析：为了利用柯西不等式，注意到 (21)(22)(2n)2n(12n)2n1， 所以(2n1)( 1 21 1 22 1 2n) (21)(22)(2n)·( 1 21 1 22 1 2n) 2n2， 21· 1 21 22· 1 22 2n· 1 2n 所以 yn，yn. 2n2 2n1 2n2 2n1 n 2n1 等号当且仅当 12n 时成立，从而 y 有最小值. 1 n n 2n1 答案：A 6同时满足 2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82 的实数 x、y、z 的 值分别为_，_，_. 解析：可令 x12x，x23y3，x3z2， 则 x1x2x318 且 x x x 108， 2 12 22 3 由此及柯西不等式得 182(x1x2x3)2(x x x )(121212)108×3， 2 12 22 3 上式等号成立的充要条件是x1x2x36x3，y1，z4. x1 1 x2 1 x3 1 所以 3,1,4 是所求实数 x，y，z 的值 答案：3 1 4 7已知实数 a，b，c，d，e 满足 abcde8，a2b2c2d2e216， 则 e 的取值范围为_ 解析：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2， 即 4(16e2)(8e)2，即 644e26416ee2. 5e216e0，故 0e. 16 5 答案： 0，16 5 8设 a，b，c，x，y，z 都是正数，且 a2b2c225，x2y2z236， axbycz30，则_. abc xyz 解析：由柯西不等式知：25×36(a2b2c2)·(x2y2z2)(axbycz) 230225×36， 当且仅当 k 时取等号 a x b y c z 由 k2(x2y2z2)225×36，解得 k . 5 6 所以k . abc xyz 5 6 答案： 5 6 9已知 x，y，zR，且 x2y3z4，求 x2y2z2的最小值 解析：由柯西不等式，得 x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)， 即(x2y3z)214(x2y2z2)， 即 1614(x2y2z2) 所以 x2y2z2 ，当且仅当 x，即当 x ，y ，z 时， 8 7 y 2 z 3 2 7 4 7 6 7 x2y2z2的最小值为 . 8 7 10在ABC 中，设其各边长分别为 a，b，c，外接圆半径为 R， 求证：(a2b2c2)36R2. ( 1 sin2 A 1 sin2 B 1 sin2 C) 证明：由正弦定理知2R， a sin A b sin B c sin C (a2b2c2)( 1 sin2 A 1 sin2 B 1 sin2 C) 236R2. ( a sin A b sin B c sin C) B 组 能力提升 1已知 x，y，zR，且 xyz1，则 x2y2z2的最小值是( ) A1 B 1 3 C. D2 2 3 解析：根据柯西不等式，x2y2z2 (121212)·(x2y2z2) 1 3 (1×x1×y1×z)2 (xyz)2 . 1 3 1 3 1 3 答案：B 2若 2ab0，则 a的最小值为( ) 4 2ab·b A1 B3 C8 D12 解析：2ab0，2ab0. a (2ab)b 4 2ab·b 1 2 8 2ab·b ·3 3. 1 2 3 2ab·b· 8 2ab·b 当且仅当 2abb，即 ab2 时等号成立 8 2ab·b 当 ab2 时，a有最小值 3. 4 2ab·b 答案：B 3若 a，b，c 为正数，则·的最小值为_ ( a b b c c a) ( b a c b a c) 解析：由柯西不等式可知， ( )·( ) a b b c c a b a c b a c ( ···)2 a b b a b c c b c a a c 329. 答案：9 4已知 x，y，zR，且 xyz1，则 的最小值为_ 1 x 4 y 9 z 解析：利用柯西不等式 由于(xyz)( 1 x 4 y 9 z) 236， ( x· 1 x y· 2 y z· 3 z) 所以 36. 1 x 4 y 9 z 当且仅当 x2 y2 z2， 1 4 1 9 即 x ，y ，z 时， 1 6 1 3 1 2 等号成立 的最小值为 36. 1 x 4 y 9 z 答案：36 5已知正数 x，y，z 满足 xyzxyz，且不等式 恒成立， 1 xy 1 yz 1 zx 求 的取值范围 解析： 1 xy 1 yz 1 zx 1 2 xy 1 2 yz 1 2 zx (1× 1× 1× ) 1 2 z xyz x xyz y xyz (121212)() ， 1 2 z xyz x xyz y xyz 1 2 3 2 故 的取值范围是，) 3 2 6已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1,1 (1)求 m 的值； (2)若 a，b，cR，且 m，求证：a2b3c9. 1 a 1 2b 1 3c 解析：(1)因为 f(x2)m|x|， 所以 f(x2)0 等价于|x|m， 由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm 又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1. (2)由(1)知 1，又 a，b，cR， 1 a 1 2b 1 3c 由柯西不等式得 a2b3c(a2b3c)( )(··· 1 a 1 2b 1 3ca 1 a2b 1 2b3c )29. 1 3c