2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习:第三讲 二 一般形式的柯西不等式
7页1、课时作业 A 组 基础巩固 1已知 x2y2z21,则 x2y2z 的最大值为( ) A1 B2 C3 D4 解析:由柯西不等式得 (x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9, 所以3x2y2z3. 当且仅当 x 时,等号成立 y 2 z 2 所以 x2y2z 的最大值为 3. 答案:C 2n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A1 Bn Cn2 D 1 n 解析:设 n 个正数为 x1,x2,xn, 由柯西不等式,得 (x1x2xn)( 1 x1 1 x2 1 xn) 2(111)2n2. ( x1 1 x1 x2 1 x2 xn 1 xn) 当且仅当 x1x2xn时取等号 答案:C 3设 a、b、c 为正数,则(abc)( )的最小值为( ) 4 a 9 b 36 c A11 B121 C49 D7 解析:(abc)Error!Error!2121. ( 4 a 9 b 36 c) 答案:B 4设 a,b,c 均为正数且 abc9,则 的最小值为( ) 4 a 9 b 16 c A81 B9 C7 D49 解析:考虑以下两组向量: u,v(, ,)
2、( 2 a, 3 b, 4 c)abc 由(uv)2|u|2|v|2得 2 ( 2 a a 3 b b 4 c c) (abc), ( 4 a 9 b 16 c) 当且仅当,即 a2,b3,c4 时取等号, a2 4 b2 9 c2 16 可得9(234)281, ( 4 a 9 b 16 c) 所以 9. 4 a 9 b 16 c 81 9 答案:B 5设非负实数 1,2,n满足 12n1, 则 yn 的最小值为( ) 2 21 2 22 2 2n A. B n 2n1 n 2n1 C. D n1 2n1 2n2 2n1 解析:为了利用柯西不等式,注意到 (21)(22)(2n)2n(12n)2n1, 所以(2n1)( 1 21 1 22 1 2n) (21)(22)(2n)( 1 21 1 22 1 2n) 2n2, 21 1 21 22 1 22 2n 1 2n 所以 yn,yn. 2n2 2n1 2n2 2n1 n 2n1 等号当且仅当 12n 时成立,从而 y 有最小值. 1 n n 2n1 答案:A 6同时满足 2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82 的实数 x
3、、y、z 的 值分别为_,_,_. 解析:可令 x12x,x23y3,x3z2, 则 x1x2x318 且 x x x 108, 2 12 22 3 由此及柯西不等式得 182(x1x2x3)2(x x x )(121212)1083, 2 12 22 3 上式等号成立的充要条件是x1x2x36x3,y1,z4. x1 1 x2 1 x3 1 所以 3,1,4 是所求实数 x,y,z 的值 答案:3 1 4 7已知实数 a,b,c,d,e 满足 abcde8,a2b2c2d2e216, 则 e 的取值范围为_ 解析:4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2, 即 4(16e2)(8e)2,即 644e26416ee2. 5e216e0,故 0e. 16 5 答案: 0,16 5 8设 a,b,c,x,y,z 都是正数,且 a2b2c225,x2y2z236, axbycz30,则_. abc xyz 解析:由柯西不等式知:2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz) 23022536, 当且仅当 k 时取等号 a x b y c z 由 k2(x
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