数学建模课件4952讲第51讲
数 学 建 模,数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。 勒内·笛卡尔,第9章 建模综合案例,数学建模,估计水塔水流量,目录,1,零件参数的设计,2,第49讲 零件参数的设计（I）,第9章 建模综合案例,零件的参数设计,数学建模,一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。 零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。,问 题,数学建模,进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。考虑两方面因素： 一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大； 二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。,零件的参数设计,数学建模,试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法 粒子分离器某指标 y 由7个零件的参数 决定经验公式为： y的目标值y0=1.50。当y偏离 时，产品为次品，质量损失为1000元；当y 偏离 时，产品为废品，质量损失为9000元。,一、税收收入的预测问题,零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A，B，C三个等级，用与标定值的相对值表示；A等为 , B等为 ，C等为 ，7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号/表示无此等级零件）：,数学建模,现进行成批生产，每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为： 容差等级取最便宜的等级。 请你综合考虑偏离造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。,数学建模,零件的参数设计,一、问题分析 本问题是一个优化问题，目标函数为成批生产时（平均每件）产品的总费用。决策变量为零件参数的标定值和容差。由于零件参数为随机变量，故目标函数的表达式会用到参数的概率分布。,数学建模,数学建模,当各零件组装成产品时，产品的总费用由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用和制造成本构成。 一方面，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失费用越大。 另一方面，零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。,数学建模,进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差（均方差的三倍），使得产品的总费用尽可能低。即以总费用最小为目标、关于随机变量的优化问题。 问题的约束条件由零件的标定值和容差变化范围确定.,零件的参数设计,二、模型假设 假设组成产品的各个零件在生产过程中互不影响，而且这些零件可以无困难地组装成一件产品。即若视各零件的参数为随机变量，则它们相互独立。 假设问题中的经验公式在给定的零件参数变化范围之中是有效的。 在大批量生产当中，假设整批零件都处在一个等级。本题中可视1000个零件都是A等、B等或C等。,数学建模,设得到的产品分三个等级： 正品 次品 废品 各等级产品性能参数的目标值为：正品、次品 、废品。并设生产过程中没有工艺损失造成产品的损坏。 由于制造工艺技术上的限制，标定值只能以某种确定的间隔来选取。例如本问题中，由于精度的关系，我们可以选取的最小步长为0.001。,数学建模,零件的参数设计,数学建模,三、符号表示,零件的参数设计,数学建模,零件的参数设计,四、模型建立 设质量损失费用函数为C(x)，而对应参数向量存在一个成本费用函数。 我们的目标就是确定参数向量的值以及各种零件的等级，使目标函数达到最小。 （1）成本函数,数学建模,1目标函数,设Cj为第j个零件参数某一等级下的成本 N为一批产品数量 给定一批产品，C(x)可根据题目中的表格计算得到,零件的参数设计,（2）目标 值偏离 造成的损耗 由于零件参数是随机变量，当进行大批量生产时，根据概率论中的大数定律 服从,数学建模,零件的参数设计,由概率论中相关的结论就有 服从期望为 ，方差为 的正态分布，其密度函数为 则由假设4，y为正品、次品、废品的概率分别为,数学建模,零件的参数设计,根据假设4，得到每件产品质量损失函数为 一批产品数量为N，则总损失函数为 可得到目标函数,数学建模,零件的参数设计,数学建模,2. 约束条件,问题的约束条件由零件的标定值的容许范围和容差变化范围确定。 ui是零件参数xi的标定值，有 容差关于标定值的相对系数为ri，约束如下,零件的参数设计,数学建模,3. 模型,零件的参数设计,五、模型求解 模型（6）中，由于包含连续变量标定值ui以及离散变量相对值ri，因此给求解带来困难。从容差表中可知,七种零件的容差共有 1×2×3×3×1×3×2=108 种组合,可以采用穷举法,求出每种容差组合下的模型的最优解，比较108个总费用，其中最小费用对应的ui和ri组合，即为最优解。,数学建模,1. Matlab求解,零件的参数设计,问题转化,求解得到 （平均）每件产品的质量损失 (元) 零件成本 (元) C=275 总费用 (元) z=748,数学建模,对原设计,数学建模,Thank you,
