数学物理方法15课件

第七章 数学物理定解问题,泛定方程：波动方程、输运方程、稳定场方程 定解条件：初始条件、边界条件,第七章 数学物理定解问题,$7.3 数学物理方程的分类 二次曲线方程： 椭圆 抛物线 双曲线 (以上a、b大于0),第七章 数学物理定解问题,令 ，代入得： 选取可消去uv项。（坐标轴旋转） 再选取u、v的零点可消去一次项。（坐标轴平移） 最终可得到标准型。,第七章 数学物理定解问题,对于线性二阶偏微分方程可以做类似处理： 令： ，则,第七章 数学物理定解问题,代入后同样可以消去交叉项，得到二阶偏微分方程的标准形 式。 双曲型： 椭圆型： 抛物线型：,第七章 数学物理定解问题,$7.4 达朗贝尔公式 1、求解偏微分方程的通解。 令 ，得：,第七章 数学物理定解问题,由 解出 即： or,第七章 数学物理定解问题,无色散波动,第七章 数学物理定解问题,2、根据定解条件求取定解。（无限长弦情况） 将通解代入得： (2)式积分后得：,第七章 数学物理定解问题,求得f1、f2后回代得：,第七章 数学物理定解问题,行波法的缺陷：能求出通解的微分方程太少。,第八章 分离变数法,数理方程的一般情况： 定解条件：,第八章 分离变数法,线性： +）_,第八章 分离变数法,1）如果 则,第八章 分离变数法,2）如果有 ，则方程可以转化为 非齐次项可以逐个分别求解，可以互相转化。,第八章 分离变数法,核心问题：怎样求解齐次方程？ 从简单问题入手 假设解具有某种简单形式： ,第八章 分离变数法,Eg：两端固定弦的自由横振动问题。 边界条件： 初始条件： 解：假设u(x,t)可以表示为 ，则 得：,第八章 分离变数法,另上式等于常数-k2，则,第八章 分离变数法,由于方程为线性齐次方程，根据叠加原理，解的一般形式为,第八章 分离变数法,2)引入边界条件 （仍然是齐次条件） 因为边界条件与t无关，必然有 得：,第八章 分离变数法,3)引入初始条件： 代入得： 将左边展开为傅里叶级数or根据函数基组的正交关系：,第八章 分离变数法,最终得：,第八章 分离变数法,由于边界条件的限制，求解中引入的常数-k2往往只在某些特 定值方程才有意义，称为本征值，对应的解为本征函数。,第八章 分离变数法,习题：1、8(p201) 以下边界条件是否是齐次边界条件？,