数学物理方法15课件
24页第七章 数学物理定解问题,泛定方程:波动方程、输运方程、稳定场方程 定解条件:初始条件、边界条件,第七章 数学物理定解问题,$7.3 数学物理方程的分类 二次曲线方程: 椭圆 抛物线 双曲线 (以上a、b大于0),第七章 数学物理定解问题,令 ,代入得: 选取可消去uv项。(坐标轴旋转) 再选取u、v的零点可消去一次项。(坐标轴平移) 最终可得到标准型。,第七章 数学物理定解问题,对于线性二阶偏微分方程可以做类似处理: 令: ,则,第七章 数学物理定解问题,代入后同样可以消去交叉项,得到二阶偏微分方程的标准形 式。 双曲型: 椭圆型: 抛物线型:,第七章 数学物理定解问题,$7.4 达朗贝尔公式 1、求解偏微分方程的通解。 令 ,得:,第七章 数学物理定解问题,由 解出 即: or,第七章 数学物理定解问题,无色散波动,第七章 数学物理定解问题,2、根据定解条件求取定解。(无限长弦情况) 将通解代入得: (2)式积分后得:,第七章 数学物理定解问题,求得f1、f2后回代得:,第七章 数学物理定解问题,行波法的缺陷:能求出通解的微分方程太少。,第八章 分离变数法,数理方程的一般情况: 定解条件:,第八章 分离变数法,线性: +)_,第八章 分离变数法,1)如果 则,第八章 分离变数法,2)如果有 ,则方程可以转化为 非齐次项可以逐个分别求解,可以互相转化。,第八章 分离变数法,核心问题:怎样求解齐次方程? 从简单问题入手 假设解具有某种简单形式: ,第八章 分离变数法,Eg:两端固定弦的自由横振动问题。 边界条件: 初始条件: 解:假设u(x,t)可以表示为 ,则 得:,第八章 分离变数法,另上式等于常数-k2,则,第八章 分离变数法,由于方程为线性齐次方程,根据叠加原理,解的一般形式为,第八章 分离变数法,2)引入边界条件 (仍然是齐次条件) 因为边界条件与t无关,必然有 得:,第八章 分离变数法,3)引入初始条件: 代入得: 将左边展开为傅里叶级数or根据函数基组的正交关系:,第八章 分离变数法,最终得:,第八章 分离变数法,由于边界条件的限制,求解中引入的常数-k2往往只在某些特 定值方程才有意义,称为本征值,对应的解为本征函数。,第八章 分离变数法,习题:1、8(p201) 以下边界条件是否是齐次边界条件?,
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