2019年高考数学（文科）二轮专题突破训练：专题四 数列 专题能力训练11

专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.已知等比数列an满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.2.在等差数列an中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.6003.设an是等比数列,Sn是an的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.04.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>05.在等比数列an中,满足a1+a2+a3+a4+a5=3,a12+a22+a32+a42+a52=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.5C.-5D.56.在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=. 7.已知等比数列an为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列的通项公式an=. 8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且1x,1y,1z成等差数列,则xz+zx=. 9.(2018全国,文17)在等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.10.已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.11.设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n+1的前n项和.二、思维提升训练12.已知数列an,bn满足a1=b1=1,an+1-an=bn+1bn=2,nN*,则数列ban的前10项的和为()A. (49-1)B. (410-1)C. (49-1)D. (410-1)13.若数列an为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1等于()A.1-14nB.231-14nC.1-12nD.231-12n14.如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.Sn是等差数列B.Sn2是等差数列C.dn是等差数列D.dn2是等差数列15.已知等比数列an的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若ASn-1SnB对nN*恒成立,则B-A的最小值为. 16.已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,nN*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+en2.17.若数列an是公差为正数的等差数列,且对任意nN*有an·Sn=2n3-n2.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*)?若存在,求出数列bn的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.专题能力训练11等差数列与等比数列一、能力突破训练1.C解析 a3a5=4(a4-1),a42=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=14,q=2,a2=a1q=12.2.B解析 由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,得a1+a20=30,故S20=20×(a1+a20)2=300.3.A解析 设公比为q,an+2an+1+an+2=0,a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1.又a1=2,S101=a1(1-q101)1-q=21-(-1)1011+1=2.4.B解析 设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d2<0,且a1=-53d.dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d2<0,故选B.5.D解析 由条件知a1(1-q5)1-q=3,a12(1-q10)1-q2=15,则a1(1+q5)1+q=5,故a1-a2+a3-a4+a5=a11-(-q)51-(-q)=a1(1+q5)1+q=5.6.6解析 an+1=2an,即an+1an=2,an是以2为公比的等比数列.又a1=2,Sn=2(1-2n)1-2=126.2n=64,n=6.7.2n解析 a52=a10,(a1q4)2=a1q9,a1=q,an=qn.2(an+an+2)=5an+1,2an(1+q2)=5anq,2(1+q2)=5q,解得q=2或q=12(舍去),an=2n.8.3415解析 由题意知(12y)2=9x×15z,2y=1x+1z,解得xz=1229×15y2=1615y2,x+z=3215y,从而xz+zx=x2+z2xz=(x+z)2-2xzxz=(x+z)2xz-2=32152y21615y2-2=3415.9.解 (1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.10.解 (1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=3n-12.11.解 (1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.所以an=22n-1(n2).又由题设可得a1=2,从而an的通项公式为an=22n-1.(2)记an2n+1的前n项和为Sn.由(1)知an2n+1=2(2n+1)(2n-1)=12n-1-12n+1,则Sn=11-13+13-15+12n-1-12n+1=2n2n+1.二、思维提升训练12.D解析 由a1=1,an+1-an=2,得an=2n-1.由bn+1bn=2,b1=1得bn=2n-1.则ban=2an-1=22(n-1)=4n-1,故数列ban前10项和为1-4101-4=13(410-1).13.B解析 因为an=1×2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以1anan+1=12×14n-1.所以1anan+1是等比数列.故Tn=1a1a2+1a2a3+1anan+1=12×1×1-14n1-14=231-14n.14.A解析 如图,延长AnA1,BnB1交于P,过An作对边BnBn+1的垂线,其长度记为h1,过An+1作对边Bn+1Bn+2的垂线,其长度记为h2,则Sn=12|BnBn+1|×h1,Sn+1=12|Bn+1Bn+2|×h2.Sn+1-Sn=12|Bn+1Bn+2|h2-12|BnBn+1|h1.|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Sn+1-Sn=12|BnBn+1|(h2-h1).设此锐角为,则h2=|PAn+1|sin ,h1=|PAn|sin ,h2-h1=sin (|PAn+1|-|PAn|)=|AnAn+1|sin .Sn+1-Sn=12|BnBn+1|AnAn+1|sin .|BnBn+1|,|AnAn+1|,sin 均为定值,Sn+1-Sn为定值.Sn是等差数列.故选A.15.5972解析 易得Sn=1-13n89,11,43,因为y=Sn-1Sn在区间89,43上单调递增(y0),所以y-1772,712A,B,因此B-A的最小值为712-1772=5972.16.解 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1).由e2=1+q2=2,解得q=3.所以e12+e22+en2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+q2n-1q2-1=n+12(3n-1).17.解 (1)设等差数列an的公差为d,则d>0,an=dn+(a1-d),Sn=12dn2+a1-12dn.对任意nN*,恒有an·Sn=2n3-n2,则dn+(a1-d)·12dn2+a1-12dn=2n3-n2,即dn+(a1-d)·12dn+a1-12d=2n2-n.12d2=2,12d(a1-d)+da1-12d=-1,(a1-d)a1-12d=0.d>0,a1=1,d=2,an=2n-1.(2)数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)·2n-1(nN*),当n=1时,a1b1=A1=4,b1=4,当n2时,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2.bn=2n-2.假设存在数列bn满足题设,且数列bn的通项公式bn=4,n=1,2n-2,n2,T1=4,当n2时,Tn=4+1-2n-11-2=2n-1+3,当n=1时也适合,数列bn的前n项和为Tn=2n-1+3.