2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 检测（A）

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆x225+y216=1上一点P到椭圆一个焦点的距离是3,则点P到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.5D.7解析:设点P到另一个焦点的距离为d,由椭圆定义可知P到两焦点的距离之和3+d=2a=10,则d=10-3=7.答案:D2已知抛物线C1:y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是()A.x=-18B.x=12C.x=18D.x=-12解析:抛物线C1:y=2x2关于y=-x对称的抛物线C2的解析式为-x=2(-y)2,即y2=-12x,故C2的准线方程为x=18.答案:C3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则双曲线C的方程是()A.x24-y25=1B.x24-y25=1C.x22-y25=1D.x22-y25=1解析:由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.由离心率e=32,知ca=32,则a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,因此,双曲线C的方程为x24-y25=1.答案:B4已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为23(1),则点P轨迹的离心率的取值范围为()A.33,1B.33,32C.0,33D.32,1解析:由题意,得23>|F1F2|=2,故点P的轨迹是椭圆,其中a=3,c=1.于是e=1313.故选C.答案:C5若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率是()A.5+12B.5-12C.25D.15解析:因为2a,2b,2c成等比数列,所以b2=ac.又因为b2=a2-c2,所以a2-c2-ac=0,解得e=5-12.答案:B6抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是()A.12B.32C.1D.3解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±3x,即±3x-y=0,故由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d=|±3-0|2=32.答案:B7AB为过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心的弦,F1为一个焦点,则ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2解析:ABF1的面积为c·|yA|,因此当|yA|最大,即|yA|=b时,面积最大.答案:C8方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(mn0)在同一坐标系中的大致图象可能是()答案:A9如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=32xB.y2=3xC.y2=92xD.y2=9x解析:由抛物线的定义,知|BF|等于点B到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得BCM=30°.又|AF|=3,从而Ap2+32,332,A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得p=32.故抛物线方程为y2=3x.答案:B10双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为()A.y2-3x2=36B.x2-3y2=36C.3y2-x2=36D.3x2-y2=36解析:由4x2+y2=64,得x216+y264=1,c2=64-16=48,c=43,e=438=32.在双曲线中,c'=43,e'=23=c'a'.a'=32c'=6,b'2=48-36=12.双曲线方程为y236-x212=1,即y2-3x2=36.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11双曲线x2256-y2144=1的两条渐近线的方程为. 解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=±34x.答案:y=±34x12过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=. 解析:抛物线的焦点为Fp2,0,设直线方程为y=x-p2.由y2=2px,y=x-p2,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.故|AB|=x1+x2+p=3p+p=8,即p=2.答案:213在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆x225+y216=1上,则sinA+sinCsinB=. 答案:5314在平面直角坐标系中,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点a2c,0所作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率e=. 解析:设点Ma2c,0,两个切点分别为P,Q.因为|MP|=|MQ|,MPMQ,所以四边形MPOQ是正方形.又因为c=1,所以a212=2a2.整理得a=2.故e=12=22.答案:2215设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于. 解析:设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=4x,y=k(x+1)联立,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.则x1+x2=-2(k2-2)k2,故x1+x22=-k2-2k2=-1+2k2,y1+y22=2k,即Q-1+2k2,2k.又|FQ|=2,F(1,0),-1+2k2-12+2k2=4,解得k=±1.答案:±1三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)点A,B分别是椭圆x236+y220=1的长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF.求点P的坐标.解:由已知可得点A(-6,0),B(6,0),F(4,0).设点P的坐标是(x,y),则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).由已知,得x236+y220=1,(x+6)(x-4)+y2=0,解得x=32或x=-6.因为y>0,所以只能取x=32,于是y=532,所以点P的坐标是32,532.17(8分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),短轴顶点B(0,b),若椭圆内接三角形BMN的重心是椭圆的左焦点F,求椭圆的离心率的取值范围.解:如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),且已知B(0,b),F(-c,0),由重心公式,得x1+x2+03=-c,y1+y2+b3=0x1+x2=-3c,y1+y2=-b.则弦MN的中点E的坐标为-3c2,-b2.又点E在椭圆内部,则-3c22a2+-b22b2<1e2<130<e<33.故椭圆的离心率的取值范围为0,33.18(9分)已知点P(3,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1PF2,试求:(1)椭圆的方程;(2)PF1F2的面积.解:(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则b2=a2-c2.因为PF1PF2,所以kPF1·kPF2=-1.即43+c·43-c=-1,解得c=5,所以可设椭圆方程为x2a2+y2a2-25=1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以9a2+16a2-25=1,解得a2=45或a2=5.又因为a>c,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为x245+y220=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=65.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,由2-得2|PF1|·|PF2|=80,所以SPF1F2=12|PF1|·|PF2|=20.19(10分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.解:(1)由题意得b=1,a=2.故椭圆C1的方程为x24+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=1k2+1,则|AB|=24-d2=24k2+3k2+1.又l2l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.由x+ky+k=0,x2+4y2=4,消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-8k4+k2.则|PD|=8k2+14+k2.设ABD的面积为S,则S=12|AB|·|PD|=84k2+34+k2,故S=324k2+3+134k2+33224k2+3·134k2+3=161313,当且仅当k=±102时取等号.故所求直线l1的方程为y=±102x-1.20(10分)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-13.(1)求动点P的轨迹方程.(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P,使得PAB与PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y).由题意得y-1x+1·y+1x-1=-13,化简得x2+3y2=4(x±1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x±1).(2)方法一:设点P的坐标为(x0,y0),点M,N的坐标分别为(3,yM),(3,yN),则直线AP的方程为y-1=y0-1x0+1(x+1),直线BP的方程为y+1=y0+1x0-1(x-1).令x=3,得yM=4y0+x0-3x0+1,yN=2y0-x0+3x0-1.于是PMN的面积SPMN=12|yM-yN|(3-x0)=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|.又直线AB的方程为x+y=0,|AB|=22,点P到直线AB的距离d=|x0+y0|2,于是PAB的面积SPAB=12|AB|·d=|x0+y0|.当SPAB=SPMN时,得|x0+y0|=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|.又因为|x0+y0|0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.因为x02+3y02=4,所以y0=±339.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等,此时点P的坐标为53,±339.方法二:若存在点P使得PAB与PMN的面积相等,设点P的坐标为(x0,y0),则12|PA|·|PB|sinAPB=12|PM|·|PN|sinMPN.因为sinAPB=sinMPN,所以|PA|PM|=|PN|PB|.所以|x0+1|3-x0|=|3-x0|x0-1|,即(3-x0)2=