2018年秋高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角学案新人教A版必修

1.1.11.1.1 任意角任意角 学习目标：1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示(重点、难点)3. 掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法(难点、易错点) 自 主 预 习·探 新 知 1角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形 成的图形 2角的表示：如图 1­1­1， 图 1­1­1 (1)始边：射线的起始位置OA， (2)终边：射线的终止位置OB， (3)顶点：射线的端点O. 这时，图中的角可记为“角”或“”或简记为“” 3任意角的分类 (1)按旋转方向分 (2)按角的终边位置分 前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合 分类： 基础自测 1思考辨析 (1)第二象限角大于第一象限角( ) (2)第二象限角是钝角( ) (3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同( ) (4)终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍( ) 解析 (1)错误如第二象限角 100°小于第一象限角 361°. (2)错误如第二象限角181°不是钝角 (3)(4)都正确 答案 (1)× (2)× (3) (4) 250°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转 2 周，所得角是 _ 670° 由题意知，所得角是 50°2×360°670°. 3已知 0°360°，且与 600°角终边相同，则_，它是第 _象限角 240° 三 因为 600°360°240°，所以 240°角与 600°角终边相同，且 0° 240°360°，故240°，它是第三象限角 合 作 探 究·攻 重 难 任意角和象限角的概念 (1)给出下列说法： 锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于 180°的角是钝角、直 角或锐角；始边和终边重合的角是零角 其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上) (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指 出它们是第几象限角 420°.855°.510°. 【导学号：84352000】 (1) (1)锐角是大于 0°且小于 90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角， 所以正确； 350°角是第一象限角，但它是负角，所以错误； 0°角是小于 180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以错误； 360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误 (2)作出各角的终边，如图所示： 由图可知： 420°是第一象限角 855°是第二象限角 510°是第三象限角 规律方法 1.判断角的概念问题的关键与技巧： (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念 (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可 2象限角的判定方法： (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限 (2)第一步，将写成k·360°(kZ,Z,0°360°)的形式； 第二步，判断的终边所在的象限； 第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负” ， “旋转幅度” 决定角的“绝对值大小” 跟踪训练 1已知集合A第一象限角，B锐角，C小于 90°的角，则下面关系正确的 是( ) AABCBAC CACBDBCC D D 由已知得BC，所以BCC，故 D 正确 2给出下列四个命题：75°是第四象限角；225°是第三象限角；475°是第 二象限角；315°是第一象限角其中正确的命题有( ) 【导学号：84352001】 A1 个 B2 个 C3 个D4 个 D D 90°75°0°，180°225°270°， 360°90°475°360°180°，360°315°270°.所以这四个命题 都是正确的 终边相同的角的表示及应用 (1)将885°化为k·360°(0°360°，kZ Z)的形式是 _ (2)写出与1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720° 360°的元素写出来 思路探究 (1)根据885°与k·360°，kZ Z 的关系确定k. (2)先写出与终边相同的角k·360°，kZ Z，再由已知不等式确定k的可能取 值 (1)(3)×360°195° (1)885°1 080°195°(3)×360°195°. (2)与1 910°终边相同的角的集合为 |k·360°1 910°，kZ Z 720°360°，即720°k·360°1 910°360°(kZ Z)， 3k6(kZ Z)，故取k4,5,6. 11 36 11 36 k4 时，4×360°1 910°470°； k5 时，5×360°1 910°110°； k6 时，6×360°1 910°250°. 规律方法 1.在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角化成k·360°的形式(其中 0°360°， kZ Z)，其中的就是所求的角 (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采 用连续加 360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360°的方式，直到所得结果达到 要求为止 2运用终边相同的角的注意点 所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k·360°，kZ Z 表示，在 运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉 (2)是任意角 (3)k·360°与之间用“”连接，如k·360°30°应看成k·360°(30°)， kZ Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它 们相差周角的整数倍 提醒：表示终边相同的角，kZ Z 这一条件不能少 跟踪训练 3下面与850°12终边相同的角是( ) A230°12B229°48 C129°48D130°12 B B 与850°12终边相同的角可表示为850°12k·360°(kZ Z)，当 k3 时，850°121 080°229°48. 4在360°360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象 限 790°；20°. 【导学号：84352002】 解 790°2×360°70°3×360°290°， 在360°360°之间与它终边相同的角是 70°和290°，它们都是第一象限的 角 20°360°340°， 在360°360°之间与它终边相同的角是20°和 340°，它们都是第四象限的 角 任意角终边位置的确定和表示 探究问题 1若射线OA的位置是k·360°10°，kZ Z，射线OA绕点O逆时针旋转 90°经过 的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？ 提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为|k·360°10° k·360°100°，kZ Z 2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与分别 具有怎样的关系？ 提示 (1)关于x轴对称：若角与的终边关于x轴对称，则角与的关系 是k·360°，kZ Z. (2)关于y轴对称：若角与的终边关于y轴对称，则角与的关系是 180°k·360°，kZ Z. (3)关于原点对称：若角与的终边关于原点对称，则角与的关系是 180°k·360°，kZ Z. (4)关于直线yx对称：若角与的终边关于直线yx对称，则角与的关 系是90°k·360°，kZ Z. (1)若是第一象限角，则是( ) 2 A第一象限角 B第一、四象限角 C第二象限角D第二、四象限角 (2)已知，如图 1­1­2 所示 图 1­1­2 分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 思路探究 (1) 由的范围写出 2 的范围确定 2 是第几象限角 根据角终边的对称性确定 2 是第几象限角 (2) 观察图形确定终边落在OA，OB位置上的角 由小到大分别标出起始和终止边界对应的角 加上360°的整数倍，得所求集合 (1)D (1)因为是第一象限角，所以k·360°k·360°90°，kZ Z， 所以k·180°k·180°90°，kZ Z， 2 所以是第一、三象限角， 2 又因为与的终边关于x轴对称， 2 2 所以是第二、四象限角 2 (2)终边落在OA位置上的角的集合为|90°45°k·360°，kZ Z |135°k·360°，kZ Z； 终边落在OB位置上的角的集合为|30°k·360°，kZ Z 由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30°，135°之间 的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为|30°k·360°135° k·360°，kZ Z 母题探究：1.若将本例(2)改为如图 1­1­3 所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括 边界)的角的集合如何表示？ 图 1­1­3 解 在 0°360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为 60°105° 与 240°285°，所以所有满足题意的角为|k·360°60°k·360° 105°，kZ Z|k·360°240°k·360°285°，kZ Z |2k·180°60°2k·180°105°，kZ Z|(2k1)·180° 60°(2k1)·180°105°，kZ Z |n·180°60°n·180°105°，nZ Z 故角的取值集合为|n·180°60°n·180°105°，nZ Z 2若将本例(2)改为如图 1­1­4 所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相 同的角的集合如何表示？ 图 1­1­4 解 在 0°360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150° 225°，则所有满足条件的角为|k·360°150°k·360°225°， kZ Z 规律方法 1.表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360°360°范围内的角 和，写出最简区间x|x，其中360°； 第三步：起始、终止边界对应角，再加上 360°的整数倍，即得区间角集合 2n或所在象限的判断方法： n (1)用不等式表示出角n或的范围； n (2)用旋转的观点确定角n或所在象限 n 例如：k·120°k·120°30°，kZ Z. 3 由 0°30°，每次逆时针旋转 120°可得终边的位置 3 3 提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异 当 堂 达 标·固 双 基 1下列