备战2019高考数学（理科）大二轮复习练习：专题八 选修4系列 专题能力训练23

专题能力训练23不等式选讲(选修45)一、能力突破训练1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,xR.(1)解不等式f(x)5;(2)若不等式t2+3t>f(x)在xR上有解,求实数t的取值范围.3.设函数f(x)=x+1a+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.4.(2018全国,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.5.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|<|1+ab|.6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,aR.(1)当a=3时,解不等式f(x)4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.二、思维提升训练8.已知函数f(x)= x,x1,1x,0<x<1,g(x)=af(x)-|x-2|,aR.(1)当a=0时,若g(x)|x-1|+b对任意x(0,+)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)-;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)a成立,求实数a的取值范围.10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)3;(2)如果xR,f(x)2,求a的取值范围.专题能力训练23不等式选讲(选修45)一、能力突破训练1.证明 因为|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|<2×a3+a3=a.2.解 (1)原不等式等价于x<-3,-2-2x5或-3x1,45或x>1,2x+25,得-72x<-3或-3x1或1<x32,因此不等式的解集为-72,32.(2)f(x)=|x-1|+|x+3|x-1-(x+3)|=4,要使t2+3t>f(x)在xR上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,t2+3t>f(x)min=4t2+3t-4>0t<-4或t>1.3.(1)证明 由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a)=1a+a2.故f(x)2.(2)解 f(3)=3+1a+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<5+212.当0<a3时,f(3)=6-a+1a,由f(3)<5,得1+52<a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.4.解 (1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12x<1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.5.(1)解 f(x)=-2x,x-12,1,-12<x<12,2x,x12.当x-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f(x)<2;当x12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M=x|-1<x<1.(2)证明 由(1)知,当a,bM时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.6.解 (1)当x12时,2x-1+x+32x+4,解得x2.当-3<x<12时,1-2x+x+32x+4,解得-3<x0.当x-3时,1-2x-x-32x+4,解得x-3.综上,原不等式的解集A=x|x0或x2.(2)当x-2时,|2x-a|+|x+3|02x+4成立.当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+32x+4,即|2x-a|x+1,得xa+1或xa-13,所以a+1-2或a+1a-13,得a-2.综上,a的取值范围为a-2.7.解 (1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=3x-4,x3,x+2,12<x<3,4-3x,x12,如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),故不等式f(x)4的解集为(0,2).(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,当且仅当(2x-1)(x-a)0时取等号,故有(2x-1)(x-a)0.当a=12时,可得x=12,故x的取值范围为12;当a>12时,可得12xa,故x的取值范围为12,a;当a<12时,可得ax12,故x的取值范围为a,12.二、思维提升训练8.解 (1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0),g(x)|x-1|+b-b|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1x2时等号成立.故实数b的取值范围是-1,+).(2)当a=1时,g(x)=1x+x-2,0<x<1,2x-2,1x2,2,x>2.当0<x<1时,g(x)=1x+x-2>2x·1x-2=0;当x1时,g(x)0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.9.解 (1)a=2,f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x2,5-2x,2<x<3,-1,x3,f(x)-12等价于x2,1-12或5-2x-12,2<x<3或x3,-1-12.解得114x<3或x3,不等式的解集为xx114.(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,若存在实数x,使得不等式f(x)a成立,则|a-3|a,解得a32.实数a的取值范围是-,32.10.解 (1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)=-2x,x<-1,2,-1x1,2x,x>1.作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.由图象可知,不等式f(x)3的解集为xx-32或x32.(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;若a<1,则f(x)=-2x+a+1,xa,1-a,a<x<1,2x-(a+1),x1,f(x)的最小值为1-a;若a>1,则f(x)=-2x+a+1,x1,a-1,1<x<a,2x-(a+1),xa,f(x)的最小值为a-1.故对于xR,f(x)2的充要条件是|a-1|2,a的取值范围是(-,-13,+).