26届希望杯高一数学2试

第二十六届“ 希望杯” 全国数学邀请赛 高一 第2试试题 一、 选择题( 每小题4分, 共4 0分.以下每个题目的选择支中, 仅有一个是正确的.) 1.定义运算:ab= a b ( ab) ( a0恒成立, 那么大于a的 最小整数是() (A)2.( B)1. ( C)0. ( D)-5. 6.已知函数f(x)=1-2 x, g(x)=x 2-4 x+3, 若存在a,b使得f(a)=g(b) , 则b的取值 范围是() (A) 2- 2,2+ 2. ( B)(2- 2,2+ 2). ( C)1,3. ( D)(1,3). 7.已知函数f(x)= x 2 +a x+1 4 x+2 ( aR), 若对任意的xN, f(x)3恒成立, 则a的取 值范围是() (A)( - ,- 8 3 . ( B) 2 6 3 ,+ ).( C)- 8 3, + ).(D) -3,+ ). 8.当x- 6, 5 6 时, 关于x的函数y=-a( s i n 2x 2 -23 s i nx 2 c o s x 2 -c o s 2x 2) 的图象 与|y| =2的图象恰有两个不同的交点, 则实数a的取值范围是() 图1 (A)|a|1. ( C)|a|2. 9.如图1, 在R t A B C的斜边A B上有点P, 它到这个三角形两条直角边的距 离分别为4和3, 则当A B C的面积最小时,P B的长是() (A)5.( B)4. ( C)3. ( D)3 4. 1 0. G i v e nm,nZ,d e f i n ef(x)= l o g2(4- |x|)i nt h e i n t e r v a lm,n. T h e v a l u er a n g eo ff(x)i s0,2. I f t h e r ee x i s t so n l yo n e z e r op o i n t o ng(x)= 2 |x- 1 |+ m+1,t h e nm+n=( ) (A)-1.( B)0. ( C)1. ( D)2. ( 英汉小词典: i n t e r v a l区间;v a l u er a n g e值域) 二、 填空题( 每小题4分, 共4 0分.) 图2 1 1.如图2,A B C D - E F GH是一个正方体,M、N是所在棱的中点, 用过M、 N、H三点的平面切开此正方体, 切下的三棱锥的表面积与原正方体表面积的比 是 . 1 2.若函数f(x)为奇函数, 当1x4时,f(x)=x2-4x+5, 则 当-4x-1时, 函数f( x)的最大值为. 1 3.平面上有点A(-3,0)和B(0,-3) , 点C在直线l:3x+y-2=0上运 动, 当C A+C B最小时, 点C的坐标为 . 1 4.已知抛物线y=a x2+b x过点A(4,0) , 若点B(x,y)为该抛物线在第一象限内的一个动 点, 且使得AO B的面积取到最大值8, 则a+b= . 1 5.已知平面直角坐标系中, 点B(2,0) , 点A在线段O B上,A B= 2.将线段O B绕点O按逆 时针方向旋转角(00对于任意xR恒 成立, 则实数k的取值范围是 . 1 7.若a 2 +4b 2 =1 , 则 8a b a+2b 的最大值为 . 1 8. A ss h o w ni nt h eF i g . 3,t h es i d el e n g t ho fs q u a r eA B C Di s4.Ei so n B C.A Ei s t a n g e n t t oah a l f c i r c l ec i r c l ea tp o i n tF.T h eh a l fc i r c l e i s i n s i d et h e s q u a r ew i t hC Da sd i a m e t e r .F i n dt h ea r e ao ft h es h a d e dp o r t i o n .A n s w e r: . ( 英汉小词典: d i a m e t e r直径;t a n g e n t相切的) 1 9.定义符号函数s g nx= 1, -1, x0 x0 , 令数列an= s g n(s i n( 3 4 +2 n 3 ) ) , b1= 1,b2= 2,bn+ 2= bn+ 1-bn(n3), 则 2 0 1 5 k=1 akbk=. 2 0.在A B C中,a,b,c分别是角A、B、C的对边.若a=7,c=5,c o sB= 3 5,则 C= . 三、 解答题每题都要写出推算过程. 2 1. ( 本题满分1 0分) 已知an= l o g n+ 2(n+3) ( n N), 定义: 可使乘积a1·a2··ak为整数的k(k N)为“ 最 佳数” , 求在区间 1,2 0 1 5内的所有“ 最佳数”的和. 图4 2 2. ( 本题满分1 5分) 如图4, 四边形A B C D有外接圆, 已知A B=2,B C=6,C D=DA=4. ( 1)求对角线B D的长; ( 2)作B P D=6 0 °, 试求P B2+P D2的取值范围. 2 3. ( 本题满分1 5分) 已知数列 an , bn满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3, 当n1时, 若数列 an+ 1-an为等差数列, 数列bn-2为等比数列. ( 1)求数列an与bn的通项公式; ( 2)设f(n)=an-bn,n N , 当n 4时, 求f(n)的最小值. 高一第 2 试答案 题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案CCBDABCBAC 题号11111212131314141515 答案1:6-1 911 , 88 3 3 , 4 224 题号16161717181819192020 答案1k 或1k 2 1021 4 21.21. 1074. 22.22.（1）2 7BD . （2） 22 PBPD的取值范围为28,56. 23.23.（1）数列 n a， n b的通项公式分别为 2 718 2 n nn a ， 1 28 2 n n b . （2）当4n 时，( )f n的最小值是 1 2 .