江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练2三角函数与解三角形理

2.2.三角函数与解三角形三角函数与解三角形 1.已知为锐角，cos. ( 4) 5 5 (1)求 tan的值； ( 4) (2)求 sin的值. (2 3) 解 (1)因为，所以， (0， 2) 4 ( 4 ，3 4 ) 所以 sin， ( 4) 1cos2( 4) 2 5 5 所以 tan2. ( 4) sin( 4) cos( 4) (2)因为 sin(2 2) sin 22sincos ， ( 4) ( 4) ( 4) 4 5 coscos 22cos21 ， (2 2) ( 4) ( 4) 3 5 所以 sinsin (2 3) (2 2) 6 sincos cossin . (2 2) 6 (2 2) 6 4 33 10 2.已知ABC中，AC2，A，cosC3sin B. 2 33 (1)求AB； (2)若D为BC边上一点，且ACD的面积为，求ADC的正弦值. 3 3 4 解 (1)因为A，所以BC， 2 3 3 由cosC3sin B得，cosCsin， 33 ( 3 C) 所以 cosC cosCsin C， 3( 3 2 cos C1 2sin C) 3 2 3 2 所以 cosCsin C，即 tan C. 1 2 3 2 3 3 又因为C， (0， 3) 所以C，从而得BC，所以ABAC2. 6 3 6 (2)由已知得 ·AC·CDsin ，所以CD， 1 2 6 3 3 4 3 3 2 在ACD中，由余弦定理得，AD2AC2CD22AC· CDcosC ，即AD， 7 4 7 2 由正弦定理得， AD sin C AC sinADC 故 sinADC. ACsin C AD 2 7 7 3.已知函数f(x)Asin(A0，0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ， (x 3) 且经过点. ( 3 ， 3 2) (1)求函数f(x)的解析式； (2)若角满足f()f 1，(0，)，求角的值. 3 ( 2) 解 (1)由条件知周期T2， 即2，所以1，即f(x)Asin. 2 (x 3) 因为f(x)的图象经过点， ( 3 ， 3 2) 所以Asin，所以A1， 2 3 3 2 所以f(x)sin. (x 3) (2)由f()f 1， 3 ( 2) 得 sinsin1， ( 3)3 ( 3 2) 即 sincos1， ( 3)3 ( 3) 所以 2sin1， ( 3) 3 即 sin . 1 2 因为(0，)，所以或. 6 5 6 4.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin 2CcsinB. (1)求角C的大小； (2)若 sin ，求 sin A的值. (B 3) 3 5 解 (1)由bsin 2CcsinB，根据正弦定理得 2sin BsinCcosCsin CsinB. 因为 sin B0，sin C0，所以 cosC . 1 2 又C(0，)，所以C. 3 (2)因为C，所以B， 3 (0， 2 3 ) 所以B， 3 ( 3 ， 3) 又 sin ， (B 3) 3 5 所以 cos . (B 3) 1sin2(B 3) 4 5 又AB，即AB， 2 3 2 3 所以 sin Asinsin ( 2 3 B) 3 (B 3) sin coscos sin 3 (B 3) 3 (B 3) × × . 3 2 4 5 1 2 3 5 4 33 10 5.已知向量a a(2cos ，sin2)，b b(2sin ，t)，. (0， 2) (1)若a ab b，求t的值； ( 2 5，0) (2)若t1，且a·ba·b1，求 tan的值. (2 4) 解 (1)方法一 因为向量a a(2cos ，sin2)，b b(2sin ，t)，且a ab b， ( 2 5，0) 所以 cossin ，tsin2. 1 5 由 cossin ，得(cossin )2， 1 5 1 25 即 12sin cos，从而 2sin cos. 1 25 24 25 所以(cossin )212sin cos. 49 25 因为，所以 cossin ， (0， 2) 7 5 所以 sin ， cos sin cos sin 2 3 5 从而tsin2. 9 25 方法二 因为向量a a(2cos ，sin2)，b b(2sin ，t)， 且a ab b，所以 cossin ，tsin2. ( 2 5，0) 1 5 又 sin2cos21，所以 sin2 21， (sin 1 5) 整理得 50sin210sin 240， 解得 sin 或 sin . 4 5 3 5 因为，所以 sin 0，所以 sin ， (0， 2) 3 5 从而tsin2. 9 25 (2)方法一 因为t1，且a·ba·b1， 所以 4sin cossin21，即 4sin coscos2. 因为，所以 cos0，从而 tan . (0， 2) 1 4 所以 tan 2. 2tan 1tan2 8 15 从而 tan. (2 4) tan 2tan 4 1tan 2·tan 4 8 151 1 8 15 23 7 方法二 因为t1，且a·ba·b1， 所以 4sin cossin21，即 4sin coscos2. 所以 2sin 2，即 4sin 2cos 21， 1cos 2 2 又 sin22cos221，所以 sin22(4sin 21)21， 整理得 17sin228sin 20， 解得 sin 2或 sin 20. 8 17 因为，所以 2(0，)，所以 sin 20， (0， 2) 所以 sin 2，代入 4sin 2cos 21，得 cos 2， 8 17 15 17 因为 tan 2， sin 2 cos 2 8 15 从而 tan. (2 4) tan 2tan 4 1tan 2·tan 4 8 151 1 8 15 23 7 6.已知函数f(x)2·sin22sin·cos. 3 ( 4 x) ( 4 x) ( 4 x) (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f(A)1，若 3 a3，BC边上的中线长为 3，求ABC的面积S. 解 (1)f(x)2sin22sincos 3 ( 4 x) ( 4 x) ( 4 x) sin 31cos( 2 2x) ( 2 2x) sin 2xcos 2x2sin. 33 (2x 6)3 令2k2x2k，kZ Z， 2 6 2 得kxk，kZ Z， 3 6 所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ Z. 3 k， 6 k (2)由f(A)2sin1， (2A 6)33 得 sin ， (2A 6) 1 2 因为A(0，)，所以 2A(0,2)，2A， 6 ( 6 ，13 6 ) 所以 2A，则A，又BC边上的中线长为 3，所以|6， 6 5 6 3 AC AB 所以|2|22·36， AC AB AC AB 即b2c22bccos A36，所以b2c2bc36， 由余弦定理a2b2c22bccos A， 得b2c2bc9， 由得，bc， 27 2 所以SbcsinA. 1 2 27 3 8