新课改2020高考数学一轮复习课时跟踪检测五十一抛物线

课时跟踪检测（五十一）课时跟踪检测（五十一） 抛物线抛物线 A 级 基础题基稳才能楼高 1(2019·石家庄模拟)抛物线y2x2的准线方程是( ) Ax Bx 1 2 1 2 Cy Dy 1 8 1 8 解析：选 D 抛物线y2x2的标准方程为x2y，其准线方程为y . 1 2 1 8 2已知抛物线C与双曲线x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( ) Ay2±2x By2±2x 2 Cy2±4x Dy2±4x 2 解析：选 D 由题意知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线C的方程为 22 y2±2px(p0)，则 ，所以p2，所以抛物线C的方程为y2±4x.故选 D. p 2222 3(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x24y上的点P(m，n)到其焦点的距离为 5，则n( ) A B 19 4 9 2 C3D4 解析： 选 D 抛物线x24y的准线方程为y1，根据抛物线的定义可知，5n1，得 n4，故选 D. 4(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一 点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上 的一点反射后，必经过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点 M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( ) A. B 4 3 4 3 C± D 4 3 16 9 解析：选 B 将y1 代入y24x可得x ，即A.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)， 1 4 ( 1 4，1) 所以直线AB的斜率k ，故选 B. 10 1 41 4 3 5(2019·珠海模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在 第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于( ) A. B. 7 12 2 3 C. D. 3 4 5 6 解析：选 B 由抛物线y24x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1，由抛物线 定义可知|PA|PF|4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(1，2)，所以kAF 33 ，所以直线AF的倾斜角等于，故选 B. 2 30 113 2 3 6(2019·江苏高邮模拟)抛物线y2x的焦点坐标是_ 1 4 解析：由于抛物线y22px的焦点坐标为，因此抛物线y2x的焦点坐标为. ( p 2，0) 1 4 ( 1 16，0) 答案：( 1 16，0) B 级 保分题准做快做达标 1(2019·武汉调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M 3 在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，若|NF|4，则M到直线NF的距离为( ) A. B2 53 C3 D2 32 解析：选 B 直线MF的斜率为，MNl，NMF60°，又|MF|MN|，且 3 |NF|4，NMF是边长为 4 的等边三角形，M到直线NF的距离为 2.故选 B. 3 2(2019·长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物 线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心 解析：选 B 设圆心为M，过点A，B，M分别作准线 l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则 |MM1| (|AA1|BB1|)由抛物线定义可知 1 2 |BF|BB1|，|AF|AA1|，|AB|BB1|AA1|，|MM1| |AB|，即圆心M到准线l的距离等 1 2 于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切 3(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为 抛物线上的一点，且满足|NF|MN|，则点F到MN的距离为( ) 3 2 A. B1 1 2 C. D2 3 解析：选 B 由题可知|MF|2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d|NF|， 因为|NF|MN|，所以 cosNMF，所以 sinNMF ，所以点F 3 2 d |MN| |NF| |MN| 3 2 1( 3 2)2 1 2 到MN的距离为|MF|sinNMF2× 1，故选 B. 1 2 4(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x24y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛 3 3 物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则AHF的面积是( ) A4 B3 3 C4 D8 3 解析：选 C 由抛物线的定义可得|AF|AH|，直线AF的斜率为，直线AF的倾斜角 3 3 为 30°，AH垂直于准线，FAH 60°，故AHF为等边三角形设A，m0，由 (m， m2 4) |AF|AH|，得1 ·，解得m2，故等边AHF的边长|AH|4，AHF的面积 m2 4 1 2 ( m2 4 1) 3 是 ×4×4sin 60°4.故选 C. 1 23 5(2019·邯郸质检)已知抛物线y22px(p0)过点A，其准线与x轴交于点B，直 ( 1 2， 2) 线AB与抛物线的另一个交点为M，若，则实数为( ) MB AB A B 1 3 1 2 C2D3 解析：选 C 把点A代入抛物线的方程得 22p× ，解得p2，所以抛物线的方程为 ( 1 2， 2) 1 2 y24x，则B(1,0)，设M，则，由 ( y2M 4 ，yM) AB ( 3 2， 2) MB (1 y2M 4 ，yM) ，得Error!解得2 或1(舍去)，故选 C. MB AB 6(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l：xya0 与抛物线x24y交于P，Q 两点，过 3 P，Q 分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|，则a( ) 16 3 3 A1 B1 C2 D2 解析：选 D 直线l的方程为xya0，直线l的倾斜角为 60°，直线l与抛物 3 线x24y交于P，Q 两点，过P，Q 分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且 |MN|，|PQ|sin 60°8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得Error!得x24 16 3 3 16 3 3 x4a0，由0 得a3，x1x24，x1x24a，|PQ|· 3313 8，即 4816a16，a2，故选 D. x1x224x1x2 7(2019·华大新高考质检)已知抛物线C：y24x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异 于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并分别延长交抛物线C 于点 P，Q，连接PQ，若直线MN，PQ 的斜率存在且分别为k1，k2，则( ) k2 k1 A4 B3 C2 D1 解析：选 C 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为 xy2，代入抛物线C：y24x，整理得y2y80，所以y1y38，即 x12 y1 4x12 y1 y3，从而x3，故P，同理可得 Q，因为M，E，N三点共线，所以 8 y1 16 y2 1 ( 16 y2 1， 8 y1) ( 16 y2 2， 8 y2) ，得y1y216，所以k2，k1，所 y1 x14 y2 x24 8 y2 8 y1 16 y2 2 16 y2 1 8 y1y2 y2y1 x2x1 y2y1 y2 2 4 y2 1 4 4 y1y2 以2.故选 C. k2 k1 8(2019·辽宁五校联考)抛物线C：y24x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点， MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则MNF的面积为( ) A B 2 22 C D3 3 2 22 解析：选 C 如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)， 因为MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM| |EF|EN|，又E在抛物线C上，所以ENl，E，所以 ( 1 2， 2) N(1，)，M(0，2)，所以|NF|，|NM|，所以MNF的 2263 面积为 ，故选 C. 3 2 2 9(2019·河南百校联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且 |MO|MF| (O为坐标原点)，则·( ) 3 2 OM MF A B 7 4 7 4 CD 9 4 9 4 解析：选 A 不妨设M(m，)(m0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为 2pm ( p 2，0) |MO|MF| ，所以Error!解得m ，p2，所以，所 3 2 1 2 OM ( 1 2， 2) MF ( 1 2， 2) 以· 2 .故选 A. OM MF 1 4 7 4 10(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y24x上有一条长度为 10 的动弦AB，则AB的中点 到y轴的最短距离为_ 解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离 d，所以点M到准线l的距离的最小值为 5，所以点M到y轴的最短距离为 |AF|BF| 2 |AB| 2 514. 答案：4 11(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线 段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_ 解析：由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a0)又直线被 a 抛物线截得的线段长为 4，所以 44，即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0) a 答案：(1,0) 12(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线y21 的右焦 x2 3 点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|3，则直线AF的斜率为_ 解析：双曲线y21 的右焦点为(2,0)，抛物线方程为 x2 3 y28x，|AF|3，xA23，得xA1，代入抛物线方程可得yA±2.点A在第一象限， 2 A(1，2)，直线AF的斜率为2. 2 2 2 122 答案：2 2 13(2019·唐山五校摸底)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点， 若|AF|2|BF|6，则p_. 解析：法一：设直线AB的倾斜角为，分别过A，B作准线l的垂线AA，BB，垂足分别 为A，B，则|AA|6，|BB|3，过点B作AA的垂线BC，垂足为C，则 |AC|3，|BC|6，BAC，所以 sin ，所以|AB|9，解得p4. 2 6 2 9 2 2 3 2p sin2 法二：设直线AB的倾斜角为，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则 |AF|，|BF|，则有2×，解得 cos ，又 p 1cos p 1cos p 1cos p 1cos 1 3 |AF|6，所以p4. p 1cos 法三：由结论 ，得 ，解得p4. 1 |AF| 1 |BF| 2