2012年湖北高考数学试卷(理科)+答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程的一个根是A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i ，所以，故选A2. 命题“”的否定是A B C D 存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，故为，选D3. 已知二次函数的图像如图所示 ，则它与轴所围图形的面积为 A. B. C. D.由图像可知，二次函数解析式为设面积为，则，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为，故选B5.设，且，若能被13整除，则A.0 B.1 C.11 D.12，显然上式除了外，其余各个因式都能被13整除，所以能被13整除，只需，故选 D6.设是正数，且，则A. B. C. D. 由柯西不等式知，而此时恰好满足取等条件，令代入到中得，所以由合比定理得，故选C7.定义在（-，0）（0，+）上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在（-，0）（0，+）上的如下函数：；。则其中是“保等比数列函数”的的序号为A. B. C. D.令等比数列的公比为，是等比数列；，不一定是 常数，不一定是等比数列；，是等比数列；，举个特例，令是等差数列不是等比数列，从而选C8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D. 设大圆的半径为2，则小圆半径为1，扇形面积为，而阴影部分的面积为，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率，故选A9.函数在区间0,4上的零点个数为A.4 B.5 C.6 D.7当时，当，而使余弦为零的角的弧度数为，令则时对应角分别为均满足条件，当时，不满足条件，综上零点个数为6个，故选C10.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159.判断，下列近似公式中最精确的一个是A. B. 5 C. D. 由球的体积公式得，由此得，经验证最精确的为D二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题（11-14题） 11.设ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若，则角C=_。由 得，所以， 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=_.；，当时，输出13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999。则（）4位回文数有_个；（）2n1（nN+）位回文数有_个。4位回文数有1001,1111,1221,1331，1991,2002,2112,2222,2332，2992，,9009,9119，9999共90个2n1（nN+）位回文数有，共有n个10，所以为个14.如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D。则（1）双曲线的离心率e=_；（2）菱形的面积与矩形的面积的比值_。（1）由已知，解得（2）由已知得，又直线的方程为，而直线的方程为联立解得，所以，（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D在O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_。设圆的半径为，由已知，又，显然最小时，CD有最大值，而取最小值时，此时，所以CD有最大值216.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为_。射线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立方程解得，所以线段AB的中点的直角坐标为三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知向量，设函数的图像关于直线x=对称，其中为常数，且（1）求函数的最小正周期；（2）若y=f（x）的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。（1）函数的图像关于直线x=对称，所以又，所以的周期为（2）若y=f（x）的图像经过点，则有，所以，函数在区间上的取值范围为18.（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前n项的和。19.（本小题满分12分）如图1，ACB=45°，BC=3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小20（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。21.（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（2）过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。22.(本小题满分14分)（1）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设为正有理数，若，则；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当为正有理数时，有求导公式第13页