2019高考数学难点题型拔高练三理含解析
难点题型拔高练(三)1已知函数f(x)2kln xkx，若x2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是()A.B C(0,2 D2，)解析：选A由题意可得f(x)，x>0，令f(x)0，得x2或exkx2(x>0)，由x2是函数f(x)的唯一极值点知exkx2(x>0)恒成立或exkx2(x>0)恒成立，由yex(x>0)和ykx2(x>0)的图象可知，只能是exkx2(x>0)恒成立法一：由x>0知，exkx2，则k，设g(x)，则kg(x)min.由g(x)，得当x>2时，g(x)>0，g(x)单调递增；当0<x<2，g(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)ming(2)，所以k.法二：exkx2(x>0)恒成立，则yex(x>0)的图象在ykx2(x>0)的图象的上方(含相切)，若k0，易知满足题意；若k>0，设yex(x>0)与ykx2(x>0)的图象在点(x0，y0)处有相同的切线，则解得数形结合可知，0<k.综上，k的取值范围是(，0.2定义“有增有减”数列an如下：tN*，at<at1，且sN*，as>as1.已知“有增有减”数列an共4项，若aix，y，z(i1,2,3,4)，且x<y<z，则数列an共有()A64个 B57个C56个 D54个解析：选D法一：不妨设x1，y2，z3，则ai1,2,3(i1,2,3,4)，所以ai1或2或3.考虑反面，即数列an不是“有增有减”数列，此时有三种情况：常数数列、不增数列(a1a2a3a4，且等号不同时成立)及不减数列(a1a2a3a4，且等号不同时成立)常数数列，有1,1,1,1；2,2,2,2；3,3,3,3，共3个不减数列，含1,2,3中的任意两个数或三个数，若含两个数，则有C3种情况，以含有1,2为例，不减数列有1,1,1,2；1,1,2,2；1,2,2,2，共3个，所以含两个数的不减数列共有3×39个若含三个数，则不减数列有1,1,2,3；1,2,3,3；1,2,2,3，共3个所以不减数列共有9312个不增数列，同理，共有12个综上，数列an不是“有增有减”数列共有312×227个所以，数列an是“有增有减”数列共有342754个法二：根据题设“有增有减”数列的定义，数列an共有两类第一类：数列an的4项只含有x，y，z中的两个，则有C3种情况，以只含x，y为例，满足条件的数列an有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8个，所以此类共有3×824个第二类：数列an的4项含有x，y，z中的三个，必有两项是同一个，有C3种情况，以两项是x，另两项分别为y，z为例，满足条件的数列an有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10个，所以此类共有3×1030个综上，数列an共有243054个3如图，等腰三角形PAB所在平面为，PAPB，AB4，C，D分别为PA，AB的中点，G为CD的中点平面内经过点G的直线l将PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P(P平面)若点P在平面内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段PH的长度的取值范围是_解析：在等腰三角形PAB中，PAPB，AB4，PAPB2.C，D分别为PA，AB的中点，PCCD且PCCD.连接PG，PG，G为CD的中点，PGPG.连接HG，点P在平面内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，PH平面，PHHG，HGPG.易知点G到线段AB的距离为，HG，HG.又PH，0PH.答案：4设抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，EAB90°.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为1，试问直线QR是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由解：(1)连接AF，EF，由题意及抛物线的定义，得|AF|EF|AE|4，即AEF是边长为4的正三角形，所以FAE60°，设准线l与x轴交于点D，在RtADF中，FAD30°，所以p|DF|AF|×42.(2)由题意知直线QR的斜率不为0，设直线QR的方程为xmyt，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)由得y24my4t0，则16m216t>0，y1y24m，y1·y24t.又点P，Q在抛物线C上，所以kPQ，同理可得kPR.因为kPQkPR1，所以1，则t3m.由解得m(1，)，所以直线QR的方程为xm(y3)，则直线QR过定点.5已知函数f(x)e2x(x3ax4xcos x1)，g(x)exm(x1)(1)当m1时，求函数g(x)的极值；(2)若a，证明：当x(0,1)时，f(x)>x1.解：(1)由题意可知g(x)exm，当m1时，由g(x)0得xln m，由x>ln m得g(x)>0，g(x)单调递增；由x<ln m得g(x)<0，g(x)单调递减所以函数g(x)只有极小值，且极小值为g(ln m)mm(ln m1)mln m.(2)证明：当x(0,1)时，要证f(x)>x1，即证x3ax4xcos x1>.由(1)得，当m1时，g(x)ex(x1)0，即exx1，所以e2x(x1)2，所以<，x(0,1)，x3ax4xcos x1>x3ax4xcos x1x3ax4xcos xx，令h(x)x24cos xa，则h(x)2x4sin x，令I(x)2x4sin x，则I(x)24cos x2(12cos x)，当x(0,1)时，cos x>cos 1>cos，所以12cos x<0，所以I(x)<0，所以I(x)在(0,1)上为减函数，所以当x(0,1)时，I(x)<I(0)0，h(x)<0，所以h(x)在(0,1)上为减函数，因此，当x(0,1)时，h(x)>h(1)a4cos 1，因为4cos 1>4cos2，而a，所以a4cos 1>0，所以当x(0,1)时，h(x)>0，所以x3ax4xcos x1>成立，所以当x(0,1)时，f(x)>x1成立
