函数教材分析解读
函数教材分析映射 函数单调性奇偶性反函数一、 本章知识结构框图：补充教材变动部分映射与函数性质 指数指数函数指数与指数函数 函数对数对数函数 对数与对数函数 函数应用举例实习作业 教材变化要渗透到每一节，1、 哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。3、 变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。”二、 内容安排：函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。3、与指数相关内容对照学习对数的定义和运算法则，通过阅读材料了解对数的历史及作用；通过具体实例了解对数函数所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；对数函数与指数函数互为反函数，图象关于直线y=x对称，得到函数性质。4、为了加强数学的应用意识，以例题的形式介绍如何建立函数关系，解决应用问题，了解函数模型的广泛应用。三、 信息技术的应用：“高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算的前提下，尽可能使用科学计算器、各种技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器进行探索和发现。”本章能使用技术呈现知识的地方比较多，以下教材分析中一一介绍。 四、 教材分析：2.1 映射表示法1、知识结构：区间无穷大 表示法映射原象与象一一映射2、教材分析与建议：（1）信息版本教学顺序是：区间映射函数，而普通版本教学顺序是：函数区间映射，若使用信息本，本小节计划一课时，讲区间与映射的概念及一一映射的概念。（2）教学重点是映射的概念；教学难点可能是如何理解映射的对应法则。（3）“区间”与“无穷大”的概念：区间是数学中常用的术语和符号，要求学生记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及含义。（a,b）、a,b、中数a和数b是区间的端点，一定是a<b，区间长度为b-a，应提醒学生以下两点：用小括号表示区间不包含端点值，用方括号表示区间包含端点值。区分点和区间，（1，3）既可以表示直角坐标系下的一个点，也可以表示区间，而（3，1）只能表示一个点。无穷大是个符号，代表的是一种趋势，不是一个数，所以用+和-作为区间的端点时只能用小括号。定义符号x|-<x<+(-,+)或Rx| xaa,+)x|x>a(a,+)x|x<b(-,b)x|xb(-,b)（4）映射：对应映射的概念象与原象一一映射简单应用。通过复习初中学到的对应和生活中对应实例，使学生对对应有直观印象，为学领会映射的本质提供基础。课本中提供有限集合之间的对应，如“求平方”“开平方”“求正弦”等，也可以数形结合，如实数a与数轴上的唯一的点p之间的对应，任意三角形与面积之间的对应等。通过分析课本中的四个对应，要使学生认识到：对应是两个集合之间的有方向的作用关系：对应分为三种类型：“一对多”、“多对一”和“一对一”。用对应的具体例子引出映射的概念，使学生明白：映射是一种特殊的对应。“多对一”和“一对一”的对应都是映射，而“一对多”的对应不是映射。映射的三要素：原象集A 、象集B和一个对应法则f。集合A、B既可以是数集，也可以是点集，或其他集合，映射是有方向的，f:AB 与f:BA不是一个概念。对于映射来说，A中的原象一定在B中有唯一的象与之对应，而B中的象不一定在A中有原象，若有，可以是一个或多个。一一映射是一种特殊的映射，既是单射也是满射，原象集与象集元素个数一样多，一一对应。用映射的思想解释生活中的看电影、查地图、编学号等实例。动手实践：映射：半圆.gsp和 一一映射.gsp（5）数学实验：映射：三角形.GSP 2.2 函数及表示法1、知识结构：定义域值域表示法函数 对应法则2、教材分析与建议：（1）本小节计划两课时，第一课时学习函数的概念，第二课时学习函数的表示法与函数图象。（2）本小节的重点是在映射的基础上理解函数的概念，对y=f(x)的理解，难点可能是函数的表示法。（3）函数的概念：函数的概念可以从以下不同角度引入： 问题引入：问题1：y=1是函数吗？问题2：y=x和y=是同一个函数吗？ 生活实例情景引入：排课表、上网费用、个人所得税、油耗与车辆行驶路程等，动手实践引入：用图形计算器画出具体函数的图象，如y=2x-1,任取点P，测出它的坐标（x,y）,拖动点P运动，观察点P横坐标与纵坐标的关系，使学生认识到函数的本质蕴含着有规律的运动与变化。函数概念.gsp函数的近代定义是从集合、对应的观点出发，函数是一种非空数集A到B的特殊的映射。而函数的传统定义是从运动变化的观点出发。在实质上他们是一致的。了解函数与映射的关系，类比学习函数概念时，学生要明白：函数符号y=f(x)表示“ y是x的函数”，不是“y等于f与x的乘积”。f(x)与 f(a) 既有区别又有联系。f(a)是一个常量，是当自变量x=a时 f(x)的值，是f(x)的一个特殊的值。f(x)是自变量 x的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素，同一个函数必须三要素完全相一致。定义域是自变量x的取值范围。在实际问题中定义域需要考虑自变量x的实际背景。在一般的整式、分式、根式中，联立使得函数解析式有意义的x的不等式（组），求得所有实数x的解的集合。例是求函数定义域的例子。在y=f(x)中，f代表对应法则，在不同函数中，f的具体含义不一样。对于定义域中的任意x,在对应法则f的作用下，得到函数值y。对应法则f 一般可以用解析式来表示，但在不少问题中，也可能不便用或不能用一个解析式表示，需要用图象或数表等，如股票变化图等。例是给函数解析式求值的例子，对于定义域中的任意x,可以是有理数、无理数、字母或表达式，在f的作用下，得到对应函数值y。多数情况下，定义域和对应法则确定，函数的值域随之确定。如何求值域往往是学生的难点，在这里，不需要介绍过多的方法。从学生已有的知识出发，具体就正比例、反比例、一次函数、二次函数等函数，利用函数的图象在坐标轴上投影的范围来求定义域和值域，培养学生观察图形的能力。例是区分同一函数的例子。同一个函数必须三要素完全相一致，一般主要看定义域和对应法则是否完全一致。（）函数的表示法：表示函数常用的方法有：解析法、列表法、图象法。 解析法能简明、全面地概括变量间的关系，也能方便的求出函数值。列表法在学生生活中经常遇到，如银行利率、列车时刻、商品价格等。图象法能直观形象地表示两个变量的函数关系，有利于观察变化的趋势。例是一个用三种方法都能表示的离散的点函数，让学生自行总结。例是分段函数的例子。分段函数是分几个式子表示的一个函数，在定义域的不同范围里函数解析式不同。例6是探讨型例题，可以给学生以下情景：让学生给k赋具体的数值，作出函数的图象，观察图象的特征，分组归纳、总结有规律的结论，如分为k>0和k<0的两类不同图形等。duigou 函数.gsp函数的三种表示方法各有优点，有的函数三种方法都能用，有的函数只能用某些表示法表示。中学的函数大多数有解析式，教学时，要让学生多用图形计算器作出一些给定解析式的函数图象，既有利于学生理解函数的意义，也能培养和加强学生数形结合的数学素养。如例2中的函数图象： 学生可以得到一些感性认识，函数图象既可以是一条或几条平滑曲线，还可以是一些线段、一段曲线、一些点等。认识函数的各种表示方法之间的内在联系并能相互转化，是函数学习的重要内容，也是深化理解函数概念的重要步骤。（5）？数学实验： 幂函数在第一象限图象.gsp2.3 函数的单调性和奇偶性1、知识结构：定义单调性图象特征函数性质定义奇偶性对定义域的要求图象特征2、教材分析及建议：（1）本小节计划三课时，第一课时学习函数单调性的概念与简单函数单调性的判定，第二课时学习函数奇偶性的概念及其图象特征，第三课时学习函数单调性与奇偶性的证明及综合运用。普通本教材本小结只学习函数的单调性，函数的奇偶性在三角函数章节学习。（2）本小节的重点是函数单调性与奇偶性的概念，可能遇到的难点是利用概念证明或判断函数的单调性或奇偶性。（3）函数的单调性：函数的单调性的引入可以安排学生做如下活动：使用图形计算器作出函数y=x2的图象。 在图象上任意找点P，测出点P的坐标。在 y轴右侧移动点P ，观察点P的纵坐标的变化规律，移动时要双向，在教师的指导下，由学生总结，得到增函数的描述性定义：在区间I上，若随着自变量x增大函数值y也增大，随着自变量x减小函数值y也减小，函数在区间I上是增函数。即：在某区间上函数值y的变化趋势与自变量x的变化趋势一致时,函数是增函数。并且观察增函数图象的升降变化趋势。同理得到减函数的描述性定义，完成单调函数用图形语言表述到数学描述性语言的过渡
