2012-2014高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案(word版本)

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为_.2、在中，已知则_.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_.6、已知是正实数，的取值范围是_.7、在四面体中，,该四面体的体积为_.8、已知等差数列和等比数列满足：则_.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有_种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，,函数.若.（1）求实数； （2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点,为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为_18_.2、在中，已知则_4_.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_.6、已知是正实数，的取值范围是_.7、在四面体中，,该四面体的体积为_.8、已知等差数列和等比数列满足：则_.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有_144_种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_24_.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，,函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点,为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1设方程的根大于，且小于，则实数的范围是 (-1,3) 2从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为3设实数，满足，则的最大值与最小值之差是 。（似乎出错） 4若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是 3 5若三角形的三边，成等差数列，则的取值范围是 6若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是 0 7已知，则 364 8设，且满足，则的最大值为9已知正四面体的棱长为9，点是面上的一个动点，满足到面、的距离成等差数列，则到面距离的最大值是 （未学）10将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 12 二解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分11设为实数，椭圆与椭圆交于点和，的左顶点为，的右顶点为（如图），若四边形是正方形，求实数解：BD=6-k=AC又AC=得k=12如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、证明：四边形是梯形连AO,BO,CO,DO 易证 A,O,C; B,O,D共线（角度），由比例线段证毕。13设实数，满足证明：解： 记f(x)=则f(x)=令f(x)=0 ，则x=所以 x<0.2196时 f(x)>0 , x>0.2196时 f(x)<0所以f(a)minf(0),f(1)=1f(b)f(0.5)=1所以f(b)f(a) ，证毕。14正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点根据抽屉原理，必定存在34个点同色。该34个点连成34*33/2=561条线段。考虑这561条线段的垂直平分线，显然它们都是正100边形的对称轴。正100边形的对称轴有200条，所以必定存在3条线段它们的垂直平分线重合。所以这3条线段两两平行，其中必有两条不等长，于是构成等腰梯形四个顶点且同色，证毕。2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1若，则函数的最小值是 2已知函数若，则的值是 3已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，则数列的通项 4若函数是奇函数，则实数的值是 5已知函数若关于的方程的实根之和为，则的值是 6设、都是锐角，且，则等于 7四面体中，异面直线和之间的距离为4，夹角为，则四面体的体积为 8若满足，的恰有一解，则实数的取值范围是 9设集合，是的两个非空子集，且中的最大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是 10如果正整数可以表示为 (，)，那么称为“好数”问1，2，3，2014中“好数”的个数为 二解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知，为正实数，求的值12已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，求双曲线C的离心率13如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高于点以为直径的半圆交的延长线于点求证：14（1）正六边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论