“几何图形初步”的学习要点

“几何图形初步”的学习要点 “几何图形初步”是义务教育数学课程标准（2011年版）中“图形与几何”的重要内容之一。 扎实掌握“几何图形初步”的核心内容，是学好“图形与几何”的关键，对于初中数学学习至关重要。 一、了解“几何图形初步”的学习目标，掌握与之适应的学习方法 “几何图形初步”的基本内容涵盖了点、线、面、角等，这些内容是几何学的核心组成要素。通过学习，需要我们努力达成如下目标： 1.通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。 2.会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。 3.掌握基本事实：两点确定一条直线。 4.掌握基本事实：两点之间线段最短。 5.理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离. 6.理解角的概念，能比较角的大小。 7.认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。 恰当的方法是学好“几何图形初步”的利器，为此，我们需要掌握以下学习方法： 1.重视概念，仔细体会其数学本质，杜绝机械记忆，重视对概念的理解，可以结合图形或图形间的转化理解概念，例如，可以结合我们的活动经验来理解几何的概念，将笔在纸上轻轻一点，就形成了一个点，将这个点按照一个方向一直运动就形成了射线，将这条射线围绕着起始点进行旋转，就形成了角，这样结合活动在运动中理解几何概念，不失为一个好方法. 2.充分利用生活经验，深化对于几何基本事实的理解，对于本章的一些内容，不仅需要我们理解概念，而且需要我们认识“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”等重要的基本事实，这些基本事实是数千年以来人类不断积淀的生活经验，需要我们还原生活，从几何学的角度进行再次提升，“两点确定一条直线”其实是“在墙上钉木条（如果忽略摩擦力），用两根钉子，就能钉牢”等生活经验的进一步提炼，而“两点之间线段最短”几乎被许多生物的本能反应所诠释，无论是狗扑食，还是鸟儿被惊飞，生物的本能促使它们都选择最快捷的途径。 3.借助图形理解概念这是几何学不同于代数学的关键点之一，例如，钝角的定义是“大于直角且小于180°的角”，但是在实际观察中发现，很多同学都会漏掉小于180°的角这个重要条件，如果通过图1来理解定义，就不会出现类似的问题了。 4.注意培养看图、画图的能力，本章与以往的代数学习的重要差别之一就是几何直观能力，表现在图形上就是识图、辨图、画图的能力，同学们首先要学会看简单图形，将简单图形的画法、基本特征、性质铭记于心，逐渐养成在复杂图形中寻找简单图形，将复杂图形分解为若干个简单图形的习惯。 图形的发展推进了人类生活上产的进程 就人类的发展而言。图形的出现远远早于文字，而数学起源于人类生产生活的需要，“图形与几何”的产生就是源于面积测量的需要，相传4000年前，古埃及的尼罗河每年洪水泛滥，淹没两岸的土地，也带来肥沃的淤泥，洪水退后，土地的界线便不再分明，当时的人们为了重新测出被洪水淹没的土地的界线，每年总要进行土地测量，古埃及人积累了许多土地测量方面的知识，积淀了几何学初步的丰富经验。 我国对几何学的研究也有悠久的历史，在公元前1000年前，我国处于黑陶文化时期，陶器上的花纹就有菱形、正方形等许多几何图形，公元前500年，在墨翟所著的墨经里有几何图形的相关知识，九章算术里记载了土地面积和物体体积的计算方法，周髀算经里记载了直角三角形三边之间的关系，这就是著名的勾股定理，也被称为“商高定理”，祖冲之的圆周率也是著称于世的，还有我国古代数学家刘徽、王孝通等，都对几何学做出了重大贡献。 随着工农业生产和科学技术的不断发展，几何学的知识也越来越丰富，研究的方面也越来越多，因此，“图形与几何”是为了解决现实问题而存在的，对于我们的生活是必要的。 三、实现世界中存在多姿多彩的几何图形 几何图形是由现实世界的实物抽象而来的，几何图形装点着我们的大千世界，在现实世界中，存在着各种各样的几何图形，有的是简单的几何图形，有的是由简单几何图形复合而成的复杂几何图形。 有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形，有些几何图形（如长方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 我们生活的世界完全可以说是一个图形的世界。图2和图3就是笔者在生活中拍摄的照片，从中可以发现很多的几何图形，其中，既有平面图形也有立体图形，例如，平面图形：圆、长方形、钝角、直角等，立体图形：球、圆台等，你也可以试着找一找，看看还能找出哪些几何图形。 只要我们仔细观察，认识思考，就会发现几何图形无处不在。 几何直观能力是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力，借助于直观形象的图形，我们可以简捷明快地分析和解决数学问题，通过本章的学习，期望你初步认识图形，感受图形世界的美妙，体会图形世界的内在规律它们都是由一些基本图形组成的。 当然。仅仅找到它们是不够的，我们更应该去思考：用所学的几何图形知识，可以解决哪些问题呢？ 四、动手制作立体图形，积累几何操作的直接经验，发展空间观念 “图形与几何”的应用之一就是设计制作文化用品和家居用品，这些物品是人们生活中必不可少的工具，它们在帮我们解决生活问题的同时也美化了生活环境，图4、图5是我们生活中常见的小家具收纳凳，它们既可以帮我们收纳物品，也可以供人们休息。 原本一个收纳用的箱子，经人们稍加设计，就变得更有用了，现在市面上一般都是正方体的收纳凳（图4）和正八棱柱的收纳凳（图5）， 1.发现数学问题， 能否用已经学过的知识来开发出新样式的收纳凳呢？ 我们一起来研究如何制作一个正五棱柱的收纳凳。 2.提出数学问题， 将我们待解决的问题“制作一个正五棱柱的收纳凳”，转化成数学问题“如何制作一个正五棱柱”。 3.分析问题， 观察正五棱柱，它有什么样的特点呢？可以发现正五棱柱的上表面和下表面是一样的正五边形，侧面都是一样的矩形，并且这些矩形都有一边与正五边形的边长相等。 4.解决问题。 （1）设计正五棱柱的展开图， 不难分析，展开图需要满足这样的条件：上表面和下表面至少要有一条边与侧面连接，而侧面之间则不必完全连接。 正五棱柱的展开图大致分为两类： 当侧面都连在一起时，只要两个一样的正五边形在侧面所连成的大矩形的两侧即可（如图6所示）： 当侧面和侧面不连接在一起时，那么有一个正五边形就会和每一个侧面都连接，另一个正五边形和其中的一个侧面的矩形连接即可（如图7所示）。 这两类展开图均可组成正五棱柱， （2）任选一个第一步中可以组成正五棱柱的展开图（如图8），将展开图按连接线折起，用胶粘住，一个正五棱柱就做好了。 5.几何知识的拓展应用。 经过前面发现问题、提出问题、分析问题、解决问题四步，我们就能够做一个正五棱柱了，细心的同学可以发现，笔筒是生活中的物品，它与正五棱柱是有区别的，这就引起我们注意了，将所学的数学知识应用于实际生活时，应该根据具体情况做一些处理。 我们要做正五棱柱的收纳凳，还要注意下面几个问题。 （1）用一些承重能力强的材料，按照上面的步骤制作两个不完整的正五棱柱（一个没有下表面，另一个没有上表面，并且没有下表面的正五棱柱要比没有上表面的正五棱柱大一点），我们就可以仿照制作正五棱柱的步骤去制作没有上表面（或下表面）的正五棱柱。 （2）将这两个不完整的正五棱柱套在一起。 （3）创意加工：给两个不完整的正五棱柱先穿上“美丽的衣服”，然后进行精心“化妆”、适当镂空，再加些小饰物，一个正五棱柱的收纳凳就大功告成了。 能力拓展：经历了上面的过程，你不妨想一想圆柱体、正三棱柱、长方体的收纳凳或者笔筒应该如何制作，利用类似的图形，你还可以做什么样的富有创意的小物品呢？ 懂得了数学知识，我们也可以自己做各种有创意的家具了！只要认真思考，数学会带给我们无尽的惊喜！认识和了解了几何图形之后，我们会发现数学知识很有用，可以帮我们解决生活中的问题，能够让生活更美好，为我们的生活增光添彩。 同学们还能发现图形的哪些应用呢？ 练一练 1.图9、图10、图11可以折成什么样的立体图形呢？ 2.图12是正六棱柱的展开图（不完整），如果要用这个展开图折成一个正六棱柱，需要添上什么图形，在哪添，共有几种添法？ 3.图13是正六棱柱的展开图（不完整），要补充完整，需要添上什么样的图形，可以添在什么位置上，共有几种添法？ 参考答案： 1.图9：三棱锥；图10：圆锥；图11：正六棱柱。 2.添一个和图12中一样的正六边形。共有6种添法，位置略。 3.需要添上和图13中一样的正六边形，共有6种添法，位置略。