人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程导学案

第二十一章 一元二次方程 211 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题 2掌握一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a0)及有关概念 3会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和 系数及常数项 一、自学指导(10 分钟) 问题 1： 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四 周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么铁皮 各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为_(1002x)cm_，宽为_(502x) cm_列方程_(1002x)·(502x)3600_，化简整理，得_x275x3500_ 问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条 件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为_4×728_ 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他_(x1)_个队各赛 1 场，所以全部比赛共_ x（x1） 2 场列方程_28_，化简整理，得_x2x560_ x（x1） 2 探究： (1)方程中未知数的个数各是多少？_1 个_ (2)它们最高次数分别是几次？_2 次_ 归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是_整式_，只含有_一个_未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是_2_的方程 1一元二次方程的定义 等号两边都是_整式_ ，只含有_一_个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_(二次)的 方程，叫做一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2bxc0(a0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中_ax2_是二次项，_a_是二次项系数，_bx_ 是一次项，_b_是一次项系数，_c_是常数项 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数 a0 是一 个重要条件，不能漏掉 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 1判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x32x250； (2)x21； (3)5x22x x22x ； 1 4 3 5 (4)2(x1)23(x1)； (5)x22xx21; (6)ax2bxc0. 解：(2)(3)(4) 点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样 的方程仍然是整式方程 2将方程 3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数及常数项 解：去括号，得 3x23x5x10.移项，合并同类项，得 3x28x100.其中二次项系数是 3， 一次项系数是8，常数项是10. 点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分钟) 1求证：关于 x 的方程(m28m17)x22mx10，无论 m 取何值，该方程都是一元二次方 程 证明：m28m17(m4)21， (m4)20， (m4)210，即(m4)210. 无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m28m170 即 可 2下面哪些数是方程 2x210x120 的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4. 解：将上面的这些数代入后，只有2 和3 满足等式，所以 x2 或 x3 是一元二次方 程 2x210x120 的两根 点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即 可 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟) 1判断下列方程是否为一元二次方程 (1)1x20; (2)2(x21)3y； (3)2x23x10; (4) 0； 1 x2 2 x (5)(x3)2(x3)2; (6)9x254x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是 2若 x2 是方程 ax24x50 的一个根，求 a 的值 解：x2 是方程 ax24x50 的一个根， 4a850， 解得 a . 3 4 3根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； (2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x. 解：(1)4x225，4x2250；(2)x(x2)100，x22x1000. 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a0)，特别强调 a0. 3要会判断一个数是否是一元二次方程的根 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 212 解一元二次方程 212.1 配方法(1) 1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程 2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能 重点：运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；领会降次转化的数学思想 难点：通过根据平方根的意义解形如 x2n(n0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形 如(xm)2n(n0)的方程 一、自学指导(10 分钟) 问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为_6x2_dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出 方程： _10×6x21500_， 由此可得_x225_， 根据平方根的意义，得 x_±5_， 即 x1_5_，x2_5_ 可以验证_5_和5 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_5_dm. 探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x1)25 及方程 x26x94? 方程(2x1)25 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变 形为_2x1±_，即将方程变为_2x1和_2x1_两个一元一次方程，从而得到 555 方程(2x1)25 的两个解为 x1_，x2_ 1 5 2 1 5 2 在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程，这 样问题就容易解决了 方程 x26x94 的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x_3_)24，进行降次，得到 _x3±2_ ，方程的根为 x1 _1_，x2_5_. 归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程如果方程能化 成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得 x±或 mxn±. pp 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟) 解下列方程： (1)2y28； (2)2(x8)250； (3)(2x1)240; (4)4x24x10. 解：(1)2y28， (2)2(x8)250， y24， (x8)225， y±2， x8±5， y12，y22； x85 或 x85， x113，x23； (3)(2x1)240， (4)4x24x10， (2x1)240， (2x1)20， 原方程无解； 2x10， x1x2 . 1 2 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，若能，则可运 用直接开平方法解 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分钟) 1用直接开平方法解下列方程： (1)(3x1)27; (2)y22y124； (3)9n224n1611. 解：(1)；(2)1±2；(3). 1 ± 7 36 4 ± 11 3 点拨精讲：运用开平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根 2已知关于 x 的方程 x2(a21)x30 的一个根是 1，求 a 的值 解：±1. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟) 用直接开平方法解下列方程： (1)3(x1)260 ; (2)x24x45； (3)9x26x14; (4)36x210； (5)4x281; (6)(x5)225； (7)x22x14. 解：(1)x11，x21； 22 (2)x12，x22； 55 (3)x11，x2 ； 1 3 (4)x1 ，x2 ； 1 6 1 6 (5)x1 ，x2 ； 9 2 9 2 (6)x10，x210； (7)x11，x23. 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟) 1用直接开平方法解一元二次方程 2理解“降次”思想 3理解 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)中，为什么 p0? 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟) 212.1 配方法(2) 1会用配方法解数字系数的一元二次方程 2掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程 重点：掌握配方法解一元二次方程 难点：把一元二次方程转化为形如(xa)2b 的过程 (2 分钟) 1填空： (1)x28x_16_(x_4_)2； (2)9x212x_4_(3x_2_)2； (3)x2px_( )2_(x_ _)2. p 2 p 2 2若 4x2mx9 是一个完全平方式，那么 m 的值是_±12_ 一、自学指导(10 分钟) 问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m2，场地的长和宽分别是多少米？ 设场地的宽为 x m，则长为_(x6)_m，根据矩形面积为 16 m2，得到方程_x(x6)16_，整 理得到_x26x160_ 探究：怎样解方程 x26x160? 对比这个方程与前面讨论过的方程 x26x94，可以发现方程 x26x94 的左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 x26x160 不具有上述形式， 直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？ 解：移项，得 x26x16， 两边都加上_9_即_( )2_，使左边配成 x2bx( )2的形式，得 6 2 b 2 _x2_6_x_916_9_， 左边写成平方形式，得 _(x3)225_， 开平方，得 _x3±5_， (降次)