电动力学课件第0章节幻灯片

电动力学 Electrodynamics,安徽科技学院,引 言 Introduction 电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。 电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwells equations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。,学习电动力学课程的主要目的是： 1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解； 2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础； 3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义的世界观。,学习电动力学课程的主要意义是： 在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。 例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、X射线和射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。,要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和刻苦的学习作风。 电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义和图象。,学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐宽终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯路”，站得高，看得远。,学习参考书： 1、经典电动力学 蔡圣善 朱 耘 编著 复旦大学出版社 2、电动力学 吴寿煌 丁士章 编 西安交通大学出版社 3、Classical Electrodynamics J.D.Jackson (经典电动力学 J.D.杰克逊 著） 人民教育出版社,学习成绩评定方法： 总成绩 = 平时成绩20%（作业+笔记+课堂情况）+ 期终考试成绩80%,第 0 章 预备知识矢量场论复习 Preliminary Knowledge Revise in the Vector Field Theory,本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算和算符 运算的重要公式。,本 章 主 要 内 容 标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理,§0-1 标量场的梯度， 算符 Gradient of Scalar Field, Operator,1、场的概念,场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。,2、方向导数,方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。,如图所示， 为场中的任意方向，P1是这个方向 线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一点。,为p2和p1之间的距离，从p1沿 到p2的增量为,若下列极限,存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1处沿 的方向导数。,3、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过,该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导 数，则可引进梯度概念。记作,称之为 在该点的梯度（grad 是gradient 缩写）， 它是一个矢量，其大小 ，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。 方向导数与梯度的关系：,是等值面 上p1点法线方向单位矢量。它指 向 增长的方向。 表示过p2 点的任一方向。 显见，,所以 即,该式表明：,即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的 投影。,梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。,4、 算符（哈密顿算符） 算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离dl， 的增量 称为方向微,分，即,显然，任意两点 值差为,§0-2 矢量场的散度 高斯定理 Divergence of Vector Field, Gausss Theorem,1、通量,一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dN，而dN是以ds为底，以 v cos为高的斜柱体的体积，即,称为矢量 通过面元 的通量。,对于有向曲面s，总可以 将s分成许多足够小的面元 ， 于是通过,曲面s的通量N即为每一面元通量之积 对于闭合曲面s，通量N为 2、散度 设封闭曲面s所包围的体积为 ，则,就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积 向 其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存 在，便记作,称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩 写)。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散 的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量,的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负 源；当div ，表示该点为无源场。,3、高斯定理,它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面 所包围体积的体积分，反之亦然。,§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理 Rotation of Vector Field, Stokes Theorem,1、矢量场的环流,在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分,称为 沿该曲线L的循环量或流量。,2、旋度,设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么,以闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小， 也将逐 渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记 作,即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状 无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方 向 ，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法 则，为此定义,称为矢量场 的旋度（rot是rotation缩写）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附 近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot 称为无旋场。,3、斯托克斯定理（Stokes Theorem）,它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线 为界的任意曲面的面积分，反之亦然。,§0-4 正交曲线坐标系中 运算的表达式 Expression of Operation on Orthogonal Curvilinear Co- Ordinates System,1、度量系数 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为,其中,称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三 个拉梅系数h1, h2, h3来描述。,2、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲线坐标系下的一般表达式,其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一个标量函数； 是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中， ，在其它正交坐标系中,3、不同坐标系中的微分表达式,a) 笛卡儿坐标,x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1,坐标变量: x1= r x2= x3= z 与笛卡儿坐标的关系： x=rcos y=rsin z= z 拉梅系数: h1=1 h2=r h3=1,b) 圆柱坐标系,将 应用于圆柱坐标可得：,c) 球坐标系,z,坐标变量： 与笛卡儿坐标的关系： 拉梅系数：,其中,§0-5 二阶微分算符 格林定理 Second-order Differentiation Operator, Greens Theorem,1、一阶微分运算,将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。 举例： a)设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。,第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点 求梯度用 r表示，则有,而,同理可得：,故得到：,第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度 用 表示。,而,同理可得：,所以得到：,b) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明,证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数 微分法则，有,c) 设,求,解：,而,同理可得,那么,这里,同理可得,故有,由此可见： d) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：,e) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：,2、二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场。,并假设 的分量具有所需要的阶的连续微 商，则不难得到：,（1）标量场的梯度必为无旋场,（2）矢量场的旋度必为无散场,（3）无旋场可表示一个标量场的梯度,（4）无散场可表示一个矢量场的旋度,（5）标量场的梯度的散度为,（6）矢量场的旋度的旋度为,3、运算于乘积,（1）,（2）,（3）,（4） （5）,(6),根据常矢运算法则,则有：,故有： (7) 根据常矢运算法则： 则有,（8） 因为 故有 从而得到：,4、Greens theorem 由Gausss theorem得到:,将上式 交换位置，得到,以上两式相减，得到,5、常用几个公式 设 试求： a) 而,5、常用几个公式,设,试求：,a),而,同理： b),从而可见： c),d),e),f),g),h),