浙江省湖州市高中联盟2017-2018学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

浙江省湖州市高中联盟浙江省湖州市高中联盟 2017-20182017-2018 学年高一下学期期中联考学年高一下学期期中联考 数学试题数学试题 第第 卷卷 （选择题，共（选择题，共 4040 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 ） 1. ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加减法运算得结果. 【详解】根据向量加法运算得，根据向量减法得,故选 D 【点睛】本题考查向量加减法运算法则，考查基本化简能力 2.设的内角所对的边分别为,若，则（ ） A. B. C. 或D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 首先结合题中所给的条件，根据正弦定理，求得，利用三角形中大边对大角的结论，以及三角形 内角的取值范围，可求得，得到结果. 【详解】根据题中所给的条件，依据正弦定理有， 即，可求得， 因为，所以，又， 所以， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及三角函数值求角，属于简 单题目. 3.在等比数列中, ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用等比数列的性质，可得，再结合三项同号，从而求得，得到结果. 【详解】在等比数列中，有，所以有， 又三项同号，所以， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，等比数列通项公式的有关运 算，属于简单题目. 4.设的内角所对的边分别为,若，则角 = （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，即可确定出 A 的度数. 【详解】因为，所以有， 所以， 即，因为 A 为三角形内角， 所以， 故选 A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用余弦定理求三角形内角的余弦值，已 知三角函数值求角，属于简单题目. 5.设数列满足，=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，分别求得， ，从而判断出数列是以 3 为周期的周期数列，进而求得，得到结果. 【详解】由已知得， 所以数列是以 3 为周期的周期数列， 又因为， 所以， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数 列的某项，属于简单题目. 6.在中，若角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先利用向量数量积的定义式，将表示出来，画出相应的图形，从而结合直角三角形的特征，求得 结果. 【详解】根据题意有 ， 故选 C. 【点睛】该题考查的是有关向量数量积的求解问题，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题 目. 7.设的内角所对的边分别为,若,则的形状为（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意，利用正弦定理可知，易知，从而可得答案. 【详解】中，因为， 所以由正弦定理得：， 即， 又，所以，所以， 所以的形状为直角三角形， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有正弦定理，正弦函数和角公式，诱 导公式，属于简单题目. 8.已知向量，平面上任意向量 都可以唯一地表示为（） ，则实 数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据平面向量基本定理可知， 若平面上任意向量 都可以唯一地表示为， 则向量 ， 不共线，由，得， 解得，即实数的取值范围是 故选 9.定义为 个正数的“均倒数” ，若已知数的前 项的“均倒数”为，又 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用“均倒数”的定义，求得的表达式，代入，利用裂项求和法求得所求的数值. 【详解】根据“均倒数”的定义，有，故， 故，两式相减得，当时，也符合上式， 故.所以，注意到，故 ，故选 C. 【点睛】本小题考查新定义概念的理解，考查数列求和方法中的裂项求和法，考查运算求解能力.属于中档 题. 10.已知向量，定义：，其中若，则的值不可能为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据平面向量的关系，得到最简形式 ，此时要根据平面向量的模长大于 0 来判断绝对值的 取值，从而确定不符合要求的选项. 【详解】因为向量，所以， 又，得， 则，即， 从而有，当时，不满足题意， 当时，由及得， 所以，即， 所以，得，所以， 所以 ， 因为，又， 所以当，即时，解得，此时， 当时，即时，解得，此时， 综上所述， 结合选项，只有不符合上述条件， 故选 A. 【点睛】该题主要考查平面向量的几何意义，平面向量垂直的条件，向量的平方与模的平方是相等的，结 合题意，列出对应的不等式组，求得结果，属于较难题目. 第第 卷卷 （非选择题部分，共（非选择题部分，共 110110 分）分） 注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分) ) 11.若数列满足，=，则=_， 通项公式=_. 【答案】 (1). 9 (2). 【解析】 【分析】 由已知可得数列是首项，公差的等差数列，由此能求出结果. 【详解】数列满足，=， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以， ， 故答案是（1）9， （2）. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的定义，等差数列的项的求解，等差 数列的通项公式，属于简单题目. 12.在中，角所对的边分别为,若,，则_；的面积为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，利用余弦定理求得，之后应用三角形的面积公式求得，得到结果. 【详解】因为在中，,， 由余弦定理可得， 所以， 由三角形面积公式可得， 故答案是：(1)，(2) 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，三角形的面积，属于简单题目. 13.已知，则 在 上的投影为_；若，则_. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 利用投影即为，利用向量的数量积运算得到，得到投影为，利用坐标求得结果，向量 垂直得到其数量积等于零，建立等量关系式，求得 的值. 【详解】设的夹角为 ，因为， 所以 在 上的投影为， 由得，即， 所以有，解得， 故答案是：(1) (2) 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量在另一个向量方向上的投影的求解，两个 向量垂直的条件，向量数量积坐标运算式，属于简单题目. 14.在中，角所对的边分别为,已知，且的周长为 ，的面积为 ,则_，_. 【答案】 (1). 4 (2). 【解析】 【分析】 直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果 【详解】中，角C 所对边分别是， 已知，则： 且的周长为 9，则： 解得： 若的面积等于， 则：， 整理得： 由于： 故：，解得：或， 所以： 故答案为：4 ； 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用 15.已知等差数列的前 项的和为，若，则_. 【答案】440 【解析】 【分析】 首先根据题的条件，得到，之后根据等差数列的性质，得到 成等差数列，结合等差数列的通项求得，进而求得 ，得到结果. 【详解】，所以有， 由等差数列的性质可知 成等差数列， 所以， 所以， 故答案是：440. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的通项，属于简单 题目. 16.在中，角所对的边分别为,已知，给出下列结论： 的边长可以组成等差数列； ； ；若，则的面积是， 其中正确的结论序号是_. 【答案】 【解析】 【分析】 由已知可设，然后分别求出的值，即可判断与相等得到三 边成等差数列，利用正弦定理可得，从而判断的正确性，利用余弦定理求出角 A 的余弦值即可判定 A 为钝角，并根据面积公式即可求出的面积，再与题目进行比较即可. 【详解】由已知可设， 则， 所以，所以， 即的边长可以组成等差数列，故正确； 由正弦定理可知，故错误； 又， 所以，故错误； 若，则，所以，又， 所以，故正确； 所以正确结论的序号是： 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关判断命题正误的问题，涉及到的知识点有正弦定理，等差关系的确定，余弦定 理，平面向量数量积的运算，三角形的面积，属于简单题目. 17.如图所示，点是圆 上的三点，线段与线段交于圆内一点 ，若， ，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，利用平面向量的线性表示与共线定理，向量相等，列出方程组，解方程组即可求出 的值 【详解】由=，且和共线， 存在实数 ，使：=（m+2m）； 又=， （m+2m）=（）， 即（m1）+2m=； ， 解得 = 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的线性运算，共线定理，共面定理的应用问题，属于基础题目 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ) 18.在中，角的对边分别为已知 （1）求角 的大小； （2）若，求的面积 【答案】 （1） （2） 【解析】 试题分析：（1）由变形,利用正弦定理得,进一步得出,从而求得 .（2）利用余弦 定理可求出 ,进一步利用面积公式得出面积. 试题解析：（1），由正弦定理得 又，从而 由于，所以. （2）解法一：由余弦定理，而， 得=13，即. 因为，所以. 故的面积为. 解法二：由正弦定理，得， 从而， 又由知，所以. 故. 所以的面积为. 考点：1.正弦定理解三角形；2.余弦定理解三角形；3.三角形面积公式. 19.如图，已知正三角形的边长为 1，设，. （1）若 是的中点，用分别表示向量，； （2）求； （3）求与的夹角. 【答案】 （1）， ；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）运用向量的三角形法则以及运用中点的向量表示，即可得到所求向量； （2）运用向量的模的平方和向量的平方是相等的，结合向量数量积的运算性质求得结果； （3）结合第二问的结合和解题思路，求得，应用向量的夹角余弦公式，结合 向量数量积的运算性质求得结果. 【详解】 （1）， （2）由题意知，且， 则 所以 （3） 与（2）解法相同，可得 设与的夹角为 ， 则， 因为 所以与的夹角为. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量的分解，三角形法则，向量的模的平 方和向量的平方是相等的，向量所成角的余弦值，属于简单题目. 20.已知公差不为 的等差数列的前 项和为，且，成等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前 项和； （3）若数列满足，求数列的通项公式 【答案】 （1）； （2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可得出结果； （3）利用累加法求得数列的通项