【100所名校】北京市2017-2018学年高一数ⅢA期末数学试题（解析版）

此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 北京市北京十一学校2017-2018学年高一数期末考试数 学（A）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（非选择题）一、填空题1已知, , ,则, , 按从小到大的顺序排序为_.2函数的单调增区间是_.3已知函数是定义在上的幂函数,则的解集为_.4已知数列的前项和,则_.5已知数列中, ,若,则_.6已知是等差数列, ,则其前项和_.7已知是各项均正的等比数列,其前项和为,则_.8已知下列四个命题:若, ,则;若且,则, 同号;“, ”是“”的充要条件;“”是“”的充要条件.其中正确的命题是_.（填写所有正确的命题的序号）9的最小值为_.10若幂函数（且互素）的图象如下图所示,则下列说法中正确的是_. m、n是奇数且m是偶数，n是奇数，且m是偶数，n是奇数，且m、n是偶数，且11已知下列四个命题:等差数列一定是单调数列;等差数列的前项和构成的数列一定不是单调数列;已知等比数列的公比为,则“是单调递减数列”的充要条件是“”;记等差数列的前项和为,若,则数列的最大值一定在处达到.其中正确的命题有_.（填写所有正确的命题的序号）12已知实数满足,则的取值范围是_.13已知函数是偶函数,且对任意都有,当时, ,则有_个零点.14贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球,每次传球,传球者将球随机将传给另外两位同学之一,足球最开始在文同学脚下,则:次传球之后,共有_种可能的传球方法;次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法有_种.15有下列命题:函数的图象与的图象恰有个公共点;函数有个零点;若函数与的图像关于直线对称,则函数与的图象也关于直线对称;函数的图象是由函数的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在轴右侧部分沿轴翻折到轴左侧替代轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.其中错误的命题有_.（填写所有错误的命题的序号）二、解答题16已知是公差不为的等差数列,且,成等比数列,数列满足,.（1）求数列和通项公式;（2）求数列前项和.17已知是偶函数.（1）求的值;（2）已知不等式对恒成立,求实数的取值范围.18已知均为正数,且,求证下列不等式,并说明等号成立条件.（1）;（2）.19已知数列的前项和为,且满足,.设.（1）求的通项公式；（2）猜测与的大小关系并证明.20已知数列满足,且.（1）当时,写出的通项公式（直接写出答案,无需过程）;（2）求最小整数,使得当时, 是单调递增数列;（3）是否存在使得是等比数列？若存在请求出;若不存在请说明理由.北京市北京十一学校2017-2018学年高一数期末考试数 学 （A）答 案1【解析】 2【解析】 ，因为对称轴为 ，所以单调增区间是3【解析】由题意得 ， ， ，即解集为4【解析】当时， 当时， ；所以.点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.5【解析】 665【解析】因为所以 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.7【解析】因为，所以 8【解析】 错；，对； ，所以“, ”是“”的充分不必要条件; 错； ，所以“”是“”的充分不必要条件; 错.9【解析】令时 最小值为10【解析】由图像知，函数为偶函数， 为偶数， 为奇数，又在第一象限向上凸，所以,选.11【解析】常数列是等差数列，但不是单调数列; 常数列前项和构成的数列可以是单调数列;已知等比数列的公比为,则“是单调递减数列”的充要条件是“”或“”; 记等差数列的前项和为,若,则即数列的最大值一定在处达到.所以正确的命题有12【解析】消a得 1310【解析】当时 ，因为，所以 ，分别作图象，根据偶函数性质由图得有10个零点. 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等14 【解析】每次传球有两种方法，所以次传球之后,共有种可能的传球方法;设次传球之后,足球回到文同学脚下的传球方法为种.则2，即 因为 点睛：构造法求数列通项：(1) 为常数）,构造等比数列；(2) ,构造等差数列15【解析】作的图象与图象，知有个公共点;作的图象与图象(当时还有一个零点)，知有个公共点;即函数有个零点;关于直线对称,但 图象不关于直线对称;函数的图象是由函数的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在轴右侧部分沿轴翻折到轴左侧替代轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.所以错误的命题的序号为.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等16（1）， ；（2）.【解析】试题分析：（1）先根据成等比数列,求出公差，再根据等差数列通项公式得数列通项公式;构造数列等差数列定义得，即得通项公式;（2）利用错位相减法求数列前项和.试题解析：（1）设公差为,由题意知: ,即,解得（舍）或,所以,所以,两边同除以得: ,又,所以是以为首项, 为公差的等差数列,即,所以.（2） 作差得: 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.17（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据偶函数定义得,利用对数性质以及指数性质化简可得的值;（2）先根据函数单调性化简不等式为，再变量分离得，最后根据基本不等式求最小值，即得实数的取值范围.试题解析：（1）, ,即,所以对恒成立,所以.（2）由题意得对恒成立,因为单调递增,所以对恒成立,即对恒成立,因为,当且仅当,即时等号成立,所以,又因为,所以,即的取值范围是.18（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）将代入左边得，再利用基本不等式化简得结论，（2）根据柯西不等式得，代入即得结论.试题解析：（1）因为,且,所以,当且仅当时等号成立.（2）因为,且,所以,当且仅当时等号成立.点睛:柯西不等式的一般形式：设为实数，则当且仅当或存在一个数，使时，等号成立.19（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项公式得,化简构造常数列，即得的通项公式；（2）根据数列单调递增,放缩可得结论，根据条件第一项不放.试题解析：（1）,两式相减得:,即,等式两边同除以得: ,因为,所以,所以,又因为,所以是恒为的常数列,所以,即.（2）因为单调递增,放缩可得:点睛：构造法求数列通项：(1) 为常数）,构造等比数列；(2) ,构造等差数列20（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）写出几项，归纳即得，（2）先计算归纳可得当时, 是单调递增数列.再根据数学归纳法给以证明，（3）根据计算可得时, 不是等比数列.再证时 , 也不是等比数列.试题解析：（1）（2）当时, ,不单调递增；当时,由（1）知不单调递增；当时, ,不单调递增；当时, ,当时, ,由此猜测当时, 是单调递增数列.下面用数学归纳法证明一个更强得猜想:当时, 当时,猜想成立；假设当时,猜想成立,即,当时,因为,所以,即时,猜想扔成立.由,及数学归纳法知,当时, ,此时因为,所以,所以,由此当时, 是单调递增数列.（3）由（2）知, 时, 不是等比数列.当时, ,因此,可求出通项公式为,所以不存在使得是等比数列