【100所名校】广东省2017-2018学年高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）（解析版）

广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1若将负数 表示为是虚数单位）的形式，则 等于A. 0 B. 1 C. -1 D. 22从3台甲型和4台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为（ ）A. 60 B. 30 C. 20 D. 403已知实数满足，则实数应取值为（ ）A. B. C. D. 4是一个关于自然数的命题，若真，则真，现已知不真，那么：不真；不真；真；不真；真；其中正确的结论为（ ）A. 、 B. 、 C. 、 D. 、5三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（ ）种A. 144 B. 1440 C. 150 D. 1886已知函数的图象在点M(1,f(1)处的切线方程是+2,则的值等于( )A. 1 B. C. 3 D. 07是的展开式中存在常数项的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8设，则 （ ）A. B. C. D. 不存在95名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有（ ）种A. 72 B. 63 C. 54 D. 4810已知函数是定义在R上的奇函数, , ,则不等式的解集是 （ ）.A. B. C. D. 11若集合=(p,q,r,s)|0p<s4,0q<s4,0r<s4且p,q,r,s，F=(t,u,v,w)|0t<u4,0v<w4且t,u,v,w，用card()表示集合中的元素个数，则card()+card(F)=（ ）A. 50 B. 100 C. 150 D. 20012已知平行于轴的直线分别交两曲线与于 ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题13在某次考试中，学号为的同学的考试成绩，且，则这四位同学的考试成绩的共有_种；14的展开式中的系数是_.15从中，得出的一般性结论是_.16已知直线是函数的切线，则的值为_三、解答题17已知（1）若若在复平面上对应的点分别为A,B，求对应用的复数（2）若18请按要求完成下列两题的证明（1）已知，用分析法证明： （2）若都是正实数，且用反证法证明： 与中至少有一个成立.19数列中，已知， .（1）计算的值，并归纳猜想出数列的通项公式；（2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论.20已知向量 ，若函数（1）若，求的极大值与极小值。（2）若函数在区间上是增函数，求的范围。21我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心的连线与该弦垂直；那么，若椭圆的一弦（非过原点的弦）中点与原点的连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明22如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO= (rad)，将表示成的函数；设OP (km) ，将表示成的函数（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次统测（4月段考）数学（理）答 案1B【解析】由题得,故a=0,b=1,所以a+b=1,故选B.2B【解析】用间接法解答，总的取法有种. 全部是甲型的有种，全部是乙型的有种，所以至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为35-1-4=30种，故选B.3D【解析】由题得由复数相等的概念得，故选D.4A【解析】由于逆否命题和原命题的真假性是一致的，因为若真，则真，所以若真，则F(K)不真. 如果不真，则F(19)不真. 所以正确. 由于F(19)不真，则F（18）不真. 所以正确，故选A.5B【解析】先把四个学生全排列，共有种方法.四名学生有五个空，把三名老师插到五个空里排列，共有种方法，由乘法分步原理得不同的排法有种方法.故选B.6C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.7A【解析】的通项为，如果展开式中存在常数项，所以所以当n=10时， 的展开式中存在常数项，所以充分性成立.的展开式中存在常数项时，n不一定等于10，所以必要性不成立.故选A.8C【解析】由题得 ，故选C.9D【解析】入选的3名队员中至少有1名老队员，包括两老一新和两新一老，且1，2号中至少有1名新队员的排法当两老一新时，有C31C21A22=12种排法；当两新一老时，有C21C32A33=36种排法，所以共有12+36=48种排法故选D.10A【解析】，即x0时 是增函数, ,所以g(x)是偶函数.所以 在上是减函数.则不等式f（x）0的解集是（1，0）（1，+）,故选A.点睛：本题的难点在于观察已知条件之后，联想到差的导数公式，从而构造函数，再研究函数的单调性和奇偶性，研究函数的图像特征,问题迎刃而解.11D【解析】当s=4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4=64种，当s=3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有3×3×3=27种，当s=2时，p，q，r都是取0，1中的一个，有2×2×2=8种，当s=1时，p，q，r都取0，有1种，所以card()=64+27+8+1=100，当t=0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种，当t=1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t=2时，u取3，4中的一个，有2种，当t=3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有1+2+3+4=10种，同理，v、w的取值也有10种，所以card(F)=10×10=100，所以card()+card(F)=100+100=200，故选D考点：推理与证明12A【解析】设平行于轴的直线方程为，由于，则，而满足那么设，则显然， 时， ，得，此时函数递减； 时， ，得，此时函数递增； 于是，当时， 有最小值,故选A.点睛:(1)本题解题主要体现了函数的思想,求的最小值,本题用函数的方法比较适宜.所以先求出函数|AB|的解析式，再求其定义域，最后利用导数求函数的最值.(2)函数的思想是高中数学里一种很重要的思想，大家要理解掌握和灵活运用.13【解析】先从集合里任意取四个数，共有种方法.再把这四个成绩分配给四个同学，由于要满足，所以只有一种分配方法，所以由乘法分步原理得这四位同学的考试成绩共有15×1=15种，故填15.14【解析】先求中的系数,它的展开式的通项为,令6-r=4,所以r=2,所以此时它的展开式中的系数是.同理得的展开式中的系数是.所以的展开式中的系数是-280+15=-265.故填-265.点睛：本题主要是理解解题的逻辑， 的展开式中的系数，实际上是展开式中的系数和展开式中的系数的和,所以分别求出再相加即可.15【解析】试题分析：观察等式可以看到，等个等式的等号左边有个数，第一个为，此后依次递增，因此最后一个数字为，而等号右边为，得出的一般性的结论是.考点：归纳推理.16【解析】设切点坐标为，由题得,则由导数的几何意义得, 因为，所以，所以k=3. 故填3.17（1）（2） 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用复数的几何意义（向量对应的复数就是终点对应的复数和起点对应的复数之差）求解. (2)第（2）问，先化简，再把代进去化简.试题解析：（1）所以对应用的复数为2+14i.（2）由题得 18（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接按照分析法的格式和步骤分析证明. (2)第（2）问，先假设， ，再找到与已知x+y>2的矛盾即得证.试题解析：（1），因为，所以1+ab>0,只需证明，只需证明a-ab+b-10,只需证明a(1-b)-(1-b) 0,只需证明（a-1）（1-b）0只需证明因为所以上式恒成立，故原不等式得证.（2）假设， ，则， ，所以，与条件矛盾，所以假设不成立，即与中至少有一个成立.19（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接按照递推公式求出. 归纳猜想出数列的通项公式 .(2)第（2）问，按照数学归纳法的原理证明自己的猜想.试题解析：（1） . 故猜想出数列的通项公式.（2）用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，左边=，右边=，所以左边=右边，所以n=1时，猜想成立.(2)假设当n=k时， ，则n=k+1时，=右边所以n=k+1时猜想成立综合（1）（2）得.20（1）极大值为 ，极小值为（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再解方程，再列表得到函数的极大值和极小值. (2)第（2）问，由题得到在（-1,1）上恒成立，再分离参数得到在区间上恒成立，求出t的范围.试题解析：当x变化时， 的变化情况如下表：x10+0f(x)减函数极小值增函数极大值减函数的极大值为 ，极小值为 （2）由于 ，所以 由，若在区间上是增函数，则时， ，即，得在区间上恒成立。又是对称轴为且开口向上的抛物线，因此，当时， 的最大值为。因此，所求的范围为点睛:本题的第（2）问，直接求二次函数在（-1,1）上的最小值也可以，分离参数求最值也可以. 对于求参数的取值范围，用的比较多的是分离参数和分类讨论.21猜测两直线斜率之积为或；【解析】试题分析：假若在圆中，弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为；对于方程，若，则方程即为圆的方程，由此可以猜测两斜率之积为或；证明：设椭圆的一条非过原点的弦为，其两端点的坐标分别为，中点为，则，即两斜率之积为考点：类比推理、点差法解决椭圆与直线的中点弦问题。点评：根据圆是长轴和短