【100所名校】广东省2017-2018学年高一下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

广东省揭阳市第一中学2017-2018学年高一下学期第一次月考试题数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1设集合，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 2直线的倾斜角为（ ）A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°3的值是（ ）A B C D4已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）A. B. C. D. 5已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A. B. C. D. 6函数是（ ）A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数7下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. 8已知实数满足，那么的最小值为（ ）A. B. C. D. 9如图，正方体中，下面结论错误的是（ ）A. 平面 B. 异面直线与所成的角为45°C. 平面 D. 与平面所成的角为30°10定义运算，设，若， ， ，则的值域为（ ）A. B. C. D. 11已知函数.若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12已知圆M:x2+y2-2x-10y+25=0，圆N:x2+y2-14x-6y+54=0，点P,Q分别在圆M和圆N上，点S在x轴上，则SP+SQ的最小值为（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10第II卷（非选择题）二、填空题13已知角的终边在直线上，且，则_14化简： _15过点且在两轴上的截距相等的直线方程为_16函数的值域为_三、解答题17已知圆： ，直线： （1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于， 两点，且时，求直线的方程18已知角的终边经过点Pm,22，sin=223且为第二象限.（1）求m的值；（2）若tan=2，求sincos+3sin2+sincos+cos-3sinsin的值.19如图，在三棱锥中， ， ，二面角的大小为60°.（1）求证： ；（2）求三棱锥的体积.20已知函数（其中， ）的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）设，且，求的值.21已知圆C:x+22+y2=5，直线l:mx-y+1+2m=0，mR.（1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为455？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.22已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.广东省揭阳市第一中学2017-2018学年高一下学期第一次月考试题数学（理）答 案1D【解析】 由集合， ， 所以，故选D.2D【解析】由直线，可得直线的斜率为k=-1，设其倾斜角为，（0°180°），则tan=-1，=135°故选D3C【解析】解：因为，选C4B【解析】 设扇形的圆心角为，所以扇形的面积为， 解得，故选B.5C【解析】设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），圆心C为点（-2，1），由中点坐标公式得解得a=-4，b=2半径r=圆的方程是：（x+2）2+（y-1）2=5，即x2+y2+4x-2y=0故选C6B【解析】 由，则函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数，故选B.7C【解析】 由， 又当时，函数是单调递减函数， 所以，所以，即，故选C.8A【解析】 由题意知， 表示点到坐标原点的距离， 又原点到直线的距离为， 所以的距离的最小值为，故选A.9D【解析】/,所以/平面；因为/ ,所以异面直线与所成的角为 45°因为，所以平面; 与平面所成的角为30°,选D.10C【解析】 由题意， 由于与都是周期函数，且最小正周期都是， 故只须在一个周期上考虑函数的值域即可， 分别画出与的图象，如图所示， 观察图象可得： 的值域为，故选D. 11B【解析】试题分析：由函数图像知实数的取值范围是考点：函数图像【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.12A【解析】圆M的圆心为M1,5，半径RM=1，圆N的圆心为7,3，半径RN=2.M关于x轴的对称点为M'1,-5，所以M'N=7-12+3+52=10，故SP+SQ=M'N-1-2=7为其最小值.13-60°或120°【解析】 在直线上任取一点， 由三角函数的定义可知， 因为，所以或.14【解析】 由.15或【解析】 当所求直线过原点时，设所求直线方程，把点代入直线，即，解得，即所求直线方程，即；当所求直线不过原点时，设所求直线方程，把点代入直线，即，解得，即所求直线方程，综上所求直线的方程为或.点睛：本题考查了直线方程的求解问题，其中解答中根据所求直线在两轴上的截距相等，分别设出相应的直线方程和是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时正确理解直线的截距相等是解答本题的难点.16【解析】 由， 因为， 当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，所以函数的值域为. 点睛：本题主要考查了三角函数的最大值与最小值，以及二次函数的性质，其中解答中利用三角函数的基本关系式，得到关于的二次函数，利用配方法求的函数的最值是解答的关键，着重考查了函数与方程思想的应用，同时注意三角函数的值域的应用.17（1）（2）或【解析】试题分析：(1)将圆的方程化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为，根据圆心到圆心的距离等于半径列方程可求的值；（2）由，根据点到直线距离公式以及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程试题解析：将圆的方程化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为（1）若直线与圆相切，则有，解得；（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，得，解得或，故所求直线方程为或18（1）m=-1；（2）211.【解析】试题分析：（1）由任意角的三角函数定义得sin=223=22m2+8，从而得m的值；（2）由（1）知tan，利用诱导公式化简得原式=-sincos+3cossincoscos+3sinsin，再由同角三角函数的关系上下同时除以coscos，进而可利用正切求解.试题解析：（1）由三角函数定义可知sin=223=22m2+8，解得m=±1，为第二象限角，m=-1.（2）由（1）知tan=-22，sincos+3sin2+sincos+cos-3sinsin= -sincos+3cossincoscos+3sinsin=-tan+3tan1+3tantan=-22+321+-22×32=211.19(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，得到， ，进而证得平面,利用线面垂直的性质，即可得到；（2）解：由（1）可得是二面角的平面角，即，进而求得，再利用，即可求得几何体的体积.试题解析：（1）证明：取的中点，连结，且为的中点， ，又，平面,平面，.（2）解：由（1）知平面，是二面角的平面角， ， 为等边三角形， .20(1) 单调递增区间为 (2) 【解析】试题分析：（1）依题意得，利用三角函数的图象与性质，即求得函数的递增区间；（2）由，得，利用三角函数的基本关系得，进而可得的值.试题解析：依题意得，（1）令， 解得， 故函数的单调递增区间为 .（2），21（1）见解析；（2）m>2或m<-2；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径可证得相交；（2）利用圆心到直线l的距离为-2m+1+2m1+m2=11+m2<5-455，可求得；（3）设中点为Mx,y，利用kABkAC=-1，即可得解.试题解析：证明：（1）圆C:x+22+y2=5的圆心为C-2,0，半径为5，所以圆心C到直线l:mx-y+1+2m=0的距离-2m+1+2m1+m2=11+m2<5.所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）假设存在直线l，使得圆上有四点到直线mx+2+1-y=0的距离为455，由于圆心C-2,0，半径为5，则圆心C-2,0到直线l的距离为-2m+1+2m1+m2=11+m2<5-455=55化简得m2>4，解得m>2或m<-2.（3）设中点为Mx,y，因为直线l:mx-y+1+2m=0恒过定点-2,1，当直线CM的斜率存在时，kMC=yx+2，又kAB=y-1x+2，kABkAC=-1，y-1x+2yx+2=-1化简得x+22+y-122=14x-2.当直线CM的斜率不存在时，x=2，此时中点为M-2,1，也满足上述方程.所以M的轨迹方程是x+22+y-122=14，它是一个以-2,12为圆心，以12为半径的圆.点睛：本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程及椭圆的性质，是中档题；求轨迹方程常见的解法由：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法；（4）待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法.22（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）由函数， 在区间上是增函数，故，由此解得的值；（2）不等式化为，故有，求出的最小值，从而求得的取值范围；（3）方程，令，原方程等价于，构造函数，通过数形结合与等价转化的思想可求得的范围.试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得，（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以得取值范围是.（3）原方程可化为令，则， 有两个不同的实数解，其中，或.记，则 或解不等组，得，而不等式组无实数解，所以实数的取值范围是.