偏导数及其经济应用
§8.2 偏导数及其经济应用教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的偏导数和高阶偏导数了解偏导数的几何意义了解偏导数在经济分析中的应用重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数的全增量（全改变量） .二元函数对的偏增量（偏改变量） .二元函数对的偏增量 .2.二元函数偏导数的定义【定义8.4】设函数在点的某一邻域内有定义，若一元函数在处存在导数,则称为在点处对的偏导数，并记作，或.其中 .(2) 类似可定义函数在点处对的偏导数: 结论(1)当在点处同时存在对，的偏导数时，简称在点可偏导.(2)当在平面某一区域内每一点处都存在对，的偏导数时，则称函数在该区域内有偏导函数，记作也简称偏导数3.多元函数偏导数的定义设,若一元函数在处存在极,则称此极限为在点处对的偏导数，并记作，或.提问：用定义表示三元函数在点处的三个偏导数.；.结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将中所有看作常量而对求导可得.4.偏导数函数设区域,若在内每一点对的偏导数或都存在,那么或就称为对的偏导函数，（它仍是的函数）.记作 ，（或）（或），（或）或（或）.可见,函数在处的值为偏导数.以后在不混淆的情况下,将偏导函数也称为偏导数.例1(1) 求 在点处的偏导数分析：二元函数的偏导数 将中的看作常量而对求导可得. 将中的看作常量而对求导可得.解 , , (2)，则 ， .(3) （09.3.4）设，则.例2求下列函数的偏导数 （注意 复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义）(1) 求 解 , （2）解 （3）设，其中可微，求解 （4）（考虑两层复合的函数）解 ,.（5）（考虑三层复合的函数）解 （6）解 ，（7）解 提问（2012-2-4-11）设，其中可微，则 .提示：，.练习：（1）提示：（2）设函数，求偏导数 .提示：.（3）(95.3) 设,可导,则 .提示.提问:二元函数的两个偏导数存在,且,，则【 】.(A) 关于是减函数，关于是增函数；(B) 关于是增函数，关于是增函数；(C) 关于是增函数，关于是增函数；(D) 关于是增函数，关于是减函数.答(D).因为表示当保持不变时,是的单调增加函数表示当保持不变时,是的单调减少函数.例3 设，求证 .证明 因 , , 所以 例4 已知理想气体的状态方程(为常数),求证:.证明 因 , , .所以 .二、偏导数存在与函数连续的关系函数在一点的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点对的偏导数存在，一定关于是连续函数，同样函数在一点对的偏导数存在，一定关于是连续函数.并且有关于一元函数的增减性.偏导数与连续的关系（1）一元函数在某点可导连续，（2）多元函数中在某点偏导数存在 连续.例如:设 由于,.即在点两个偏导数都存在,但在点显然间断 因为. 又如，在点处两个偏导数均存在且为0，（用下列方法可求）,但是在点不连续，因为极限不存在.结论：多元函数偏导数存在与连续没有必然关系.三、二元函数偏导数的几何意义偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.提问：是否存在一个函数，使得，？（分析：，所以这样的不存在.）四、高阶偏导数 1.高阶偏导数: 偏导函数，还是的函数，若，在区域内对存在有偏导数,则称此偏导数为的二阶偏导数,并记作 ,，, 同理有,等等.2.【定理】如果函数的两个二阶混合偏导，在区域内连续，则在该区域内必.二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.例5 设,于是 ， ； ， ； , .例6 求函数的二阶偏导数.解 ，练习:求函数的二阶偏导数.解 ;.例7(05.8) 设具有二阶连续导数，且,求.解由条件知, , 故.练习 求下列函数的二阶偏导数，例8 证明函数满足方程 其中.证明: , ；同理, .（自学内容）、偏导数在经济分析中的应用交叉弹性(一元函数弹性)我们知道一元函数边际与弹性分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售是它的价格及其它商品价格的函数,称为对的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品； 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.【偏弹性定义】设函数在点处偏导数存在，函数对的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数对从到两点间的弹性当时，的极限值称为函数在点处对的弹性，记作，即.类似可以定义函数在处对的弹性为.特别地，如果中表示需求量，表示价格，表示消费者收入，则表示需求对价格的弹性，表示需求对收入的弹性.( 恒为正)【交叉弹性概念】设两种商品彼此相关，它们的需求量分别为两种商品价格及其消费者收入的函数即，则直接价格偏弹性；交叉价格弹性.当则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量增加且另一个需求量减少此时称互为替代品；如苹果与香蕉.当则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量同时增加此时称互为互补品；如汽车与汽油.例 某种数码相机的销售量除与它自身的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关,具体求 ，时（1）对的弹性；（2）对的交叉弹性.解：（1）对的弹性为当=50，=5时（2）对的交叉弹性为 =50，=5时小结：1多元函数求对偏导数，就把函数看作的一元函数，求函数对的导数即为所求偏导数2一元函数的可导必连续在多元函数中不再成立，即在一点存在偏导数，但在这一点不一定连续.偏导数存在，则有在点连续，偏导数存在，则在点连续. 3. 二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数. 4.偏弹性可以在一元函数弹性的基础上,把导数换成偏导数,对谁求偏弹性,就把谁看作自变量.课后记：存在的问题:不能正确的运用公式，计算错误较多；忽略了混合偏导数在连续情况下才与求导数的顺序无关的条件.14
