偏导数及其经济应用
14页1、 8.2 偏导数及其经济应用教学目的:理解并掌握偏导数概念,能正确求出所给函数的偏导数和高阶偏导数了解偏导数的几何意义了解偏导数在经济分析中的应用重点:正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数难点:分清常量与变量,正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数教学方法:启发式讲授与指导练习相结合教学过程:一、偏导数的定义及其计算方法 1.二元函数的全增量(全改变量) .二元函数对的偏增量(偏改变量) .二元函数对的偏增量 .2.二元函数偏导数的定义【定义8.4】设函数在点的某一邻域内有定义,若一元函数在处存在导数,则称为在点处对的偏导数,并记作,或.其中 .(2) 类似可定义函数在点处对的偏导数: 结论(1)当在点处同时存在对,的偏导数时,简称在点可偏导.(2)当在平面某一区域内每一点处都存在对,的偏导数时,则称函数在该区域内有偏导函数,记作也简称偏导数3.多元函数偏导数的定义设,若一元函数在处存在极,则称此极限为在点处对的偏导数,并记作,或.提问:用定义表示三元函数在点处的三个偏导数.;.结论:多元函数求偏导数时,只将一个变量看作未知量,而其余变量均看作常量,按照一元函数求导数的法则求导数即是.
2、即将中所有看作常量而对求导可得.4.偏导数函数设区域,若在内每一点对的偏导数或都存在,那么或就称为对的偏导函数,(它仍是的函数).记作 ,(或)(或),(或)或(或).可见,函数在处的值为偏导数.以后在不混淆的情况下,将偏导函数也称为偏导数.例1(1) 求 在点处的偏导数分析:二元函数的偏导数 将中的看作常量而对求导可得. 将中的看作常量而对求导可得.解 , , (2),则 , .(3) (09.3.4)设,则.例2求下列函数的偏导数 (注意 复合函数求导法则:层层求导,导数相乘的含义)(1) 求 解 , (2)解 (3)设,其中可微,求解 (4)(考虑两层复合的函数)解 ,.(5)(考虑三层复合的函数)解 (6)解 ,(7)解 提问(2012-2-4-11)设,其中可微,则 .提示:,.练习:(1)提示:(2)设函数,求偏导数 .提示:.(3)(95.3) 设,可导,则 .提示.提问:二元函数的两个偏导数存在,且,,则【 】.(A) 关于是减函数,关于是增函数;(B) 关于是增函数,关于是增函数;(C) 关于是增函数,关于是增函数;(D) 关于是增函数,关于是减函数.答(D).因为表
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