【100所名校】2018届北京东城高三上学期期中考试数学（理）（解析版）
2018届北京东城北京二中高三上学期期中考试数学（理）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷（选择题）一、单选题1已知集合A=x|x+1x-2<0，集合B=N，则AB等于（ ）A. -1,0,1 B. 1 C. 0,1 D. -1,02已知向量a=(1,2)，b=(x,-2)，且ab，则|a+b|等于（ ）A. 5 B. 5 C. 42 D. 313设复数z满足z(1-2i)=2+i（其中i为虚数单位），则z的模为（ ）A. 1 B. 2 C. 5 D. 34执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 75已知2,32，tan(-)=-34，则sin+cos等于（ ）A. ±15 B. -15 C. 15 D. -756下列命题中正确的是（ ）A. 若为真命题，则为真命题B. “， ”是“”的充分必要条件C. 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”D. 命题 ，使得，则 ，使得7函数f(x)=x-1xcosx(-x且x0)的图象可能为（ ）A. B. C. D. 8某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a-1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛第II卷（非选择题）二、填空题9已知正方形ABCD边长为2，E为AB边上一点，则EDEC的最小值为_1001(ex+2x)dx=_11已知数列an满足a1=1，且an=n(an+1-an)(nN*)，则a2=_；an=_12设函数f(x)=x1+|x|，则使得f(x2-2x)>f(3x-6)成立的x的取值范围是_13已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件fx+32=-f(x)，且函数y=fx-34是奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点-34,0对称；函数f(x)是偶函数；函数f(x)在R上是单调函数在述四个命题中，正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）14已知x1，x2是函数f(x)=2sin2x+cos2x-m在0,2内的两个零点，则sin(x1+x2)= _三、解答题15已知向量a=(cosx,cos2x)，b=(sinx,-3)，且函数f(x)=ab（1）求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且fA2=-32，a=3，b+c=23，求ABC的面积16已知数列an的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列bn满足b1=a1，b4=S3（1）求数列an，bn的通项公式（2）设cn=1bnbn+1，数列cn的前n项和为Tn，求证Tn<1217某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望18如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，Q是AD的中点.（）若，求证：平面PQB平面PAD；（）若平面APD平面ABCD，且，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角的大小为，并求出的值.19已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0)，F2(1,0)，点A1,22在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y=53上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM=NQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由20已知函数f(x)=ln(1-x)-x，g(x)=x2+2x+ax+2(aR)（1）求函数f(x)的单调区间及最值（2）若对x>0，f(x)+g(x)>1恒成立，求a的取值范围（3）求证：13+15+17+12n+1<ln(n+1)，(nN*)2018届北京东城北京二中高三上学期期中考试数学（理）答 案1C【解析】分析：先化简集合A，再根据集合B=N，求得AB。详解：由题意可得集合A=x|-1<x<2，由集合B=N，所以AB =0,1，选C.点睛：集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图。2B【解析】分析：由向量垂直可得ab=0，求得x，及向量b的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模。详解：由ab，可得ab=0，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a+b =(5,0)，得|a+b|=5，选B.点睛：向量的坐标运算将向量与代数有机结合，本题考查利用向量坐标运算表示向量垂直，向量加法，向量求模的运算。3A【解析】分析：先由复数方程解得复数z,再把复数z化为标准式，再求复数模。详解：由题意得z=2+i1-2i=(2+i)(1-2i)5=4-3i5，所以|z|=(45)2+(-35)2=1，选A.点睛：本题主要考查复数方程，复数除法与复数的模运算，题目较易。4B【解析】由程序框图，得 结束循环，输出值，即；故选B.5B【解析】分析：先由正切的诱导公式可得tan=-34，再结合角的范围及sin2+cos2=1，可求得sin=35,cos=-45，可求解。详解：由题意得tan(-)= tan=-34，又2,32，所以cos<0,sin>0，结合sin2+cos2=1解得sin=35,cos=-45，所以sin+cos =35-45=-15，选B.点睛：本题考查正切的诱导公式，同角关系相关公式，需要注意用同角关系需先确定三角函数值的正负性，再求值。6D【解析】试题分析：根据为真命题，可知有一个真即可，而为真命题，要求两者都真，故A不正确，因为要求 ，即同号，所以“， ”是“”的充分不必要条件，故B不正确，命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，故C不正确；根据特称命题的否定形式，可知D是正确的，故选D考点：1命题真假的判断；2充要条件的判断；3逆否命题，特称命题的否定7D【解析】分析：先根据函数奇偶性排除A，B，再取特殊值排除C，即得结果.详解：f(-x)=-x+1xcos(-x)=-x-1xcosx=-f(x)，函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B，又当x=时，f()=-1cos=1-<0，排除C，故选D点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题8B【解析】由题意得1-8有6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，所以当a59时,1,3,4,5,6,7号6人进入30秒跳绳决赛30秒跳绳决赛，1去掉A,C; 同理9号学生不一定进入30秒跳绳决赛，所以选B. 视频93【解析】分析：由于E为AB边上一点，所以设EA=tBA,(0<t<1)，再把数量积EDEC拆分为向量AB,BC做基底表示，进一步表示为t的函数关系，由函数求得最小值。详解：如下图，不妨设EA=tBA,(0<t<1)，所以EDEC=(EA+AD)(EB+BC)=EAEB+EABC+ADEB+ADBC=EAEB+4=4t2-4t+4，(0<t<1)，所以当t=12时，上式取最小值3.填3.点睛：本题考查平面向量基本定理的基底表示其它向量及共线向量的表示，再由函数关系求得数量积的最值，注意引进变量t，需要给出变量t的范围。10e【解析】分析：由定积分公式可知只需求出被积函数的原函数即可求得定积分。详解：由定积分公式可知01(ex+2x)dx= (ex+x2)|01=(e+1)-(1+0)=e，填e.点睛：由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分有些由函数的性质求函数的定积分。11 2 n【解析】分析：由数列的递推关系化简可知数列ann为常数列，由此可求得数列an的通项公式为an=n。详解：由题意得(n+1)an=nan+1，即an+1n+1=ann，所以an+1n+1=ann=a11=1，所以an=n,a2=2,两空分别填填2和n.点睛：本题考查数列的递推关系求通项公式，常用方法有先猜后证，转化法，本题用的是转化法即转化为其它可解数列。当然本题也可以用归纳法，即先猜后证。12(-,2)(3,+)【解析】分析：由函数的奇偶性可知函数f(x)是奇函数，考虑x>0时，函数为单调递增函数，所以函数在R上单调递增。由单调性可解不等式f(x2-2x)>f(3x-6)。详解：函数f(x)=x1+|x|为奇函数，当x>0时，f(x)=x1+x=1-11+x，可得f(x)在(0,+)上单调递增，由奇函数的性质，可得f(x)在R上单调递增，由f(x2-2x)>f(3x-6)，可得x2-2x>3x-6，即x2-5x+6>0，解得x<2或x>3，故x的取值范围是(-,2)(3,+)点睛：本题以解不等式形式考查函数的奇偶性判定、单调性判定、单调性的应用，如果能应用好函数性质将比较简单，如果直接代入函数虽然可解但运算量较大。13【解析】分析：由fx+32=-f(x)
