数字信号处理 教学课件 ppt 作者 尹为民 11-3.2有限长序列离散傅里叶变换及其性质(二)

1,§3-2有限长序列离散傅里叶变换(DFT)及其性质,DFT的定义 DFT与DTFT、ZT的关系 DFT的性质,重点：共轭对称性; 有限长序列的线性卷积与圆周卷积,2,review,隐含 周期性,3,三、DFT的性质,线性 序列的圆周移位 圆周共轭对称性 DFT形式下的Parseval 定理 圆周卷积和 有限长序列的线性卷积与圆周卷积,以下讨论的序列都是N点有限长序列，设:,DFTx1(n)=X1(k)； DFTx2(n)=X2(k),4,三、对偶性,若 DFTx(n)=X(k)，则,证明：,5,3、圆周共轭对称性,(1) 圆周共轭对称的概念,xep(n)和xop(n)定义为：,N点有限长序列x(n)的可以分解为圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n) 之和：,6,3、圆周共轭对称性,(1) 圆周共轭对称的概念,显然有,或者可以写为：,实偶、虚奇,实奇、虚偶,注意：补点对称,7,3、圆周共轭对称性,(1)圆周共轭对称的概念,圆周偶对称,圆周奇对称,对称中心：n=N/2,8,3、圆周共轭对称性,(2) 共轭对称性,若x(n)是实序列,2019/5/26,9,例3-2-6已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X(0)=3.1, X(2)=2.5+4.6j, X(4)=-1.7+5.2j, X(6)=9.3+6.3j, X(8)=5.5-8.0j。确定DFT在奇数点的值。,解,X(1)=X*(9-1)= X*(8)= 5.5+8.0j; X(3)=X*(9-3)= X*(6)= 9.3-6.3j； X(5)=X*(9-5)= X*(4)= -1.7-5.2j; X(7)=X*(9-7)= X*(2)= 2.5-4.6j;,根据实序列DFT的对称特：X(k)=X *(N-k),可得,练习： 实序列x(n) ，已知其6点DFT的前4点为0.25, 0.1-j0.3, 0.15, 0，则后2点DFT为 , .,0.15 0.1+j0.3,10,3、圆周共轭对称性,圆周共轭对称分量,圆周共轭 反对称分量,圆周共轭 反对称分量,圆周共轭对称分量,实部,虚部 (含j),实部,虚部 (含j),(3) 虚实奇偶性,2019/5/26,11,例3-2-7 设x1(n)和x2(n)都是N点实数序列，试用一次DFT来计算它们各自的DFT。,解,构造复序列，利用共轭对称性求解。,(1)构造N点复数序列,(2)计算,(3)求出x1(n) 和 x2(n) 的DFT,12,4、 DFT形式下的Parseval 定理,如果令y(n)=x(n)，有,时频能量守恒 ,13,5、圆周卷积和,(1) 圆周卷积的定义,设x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积定义为：,有限长序列的圆周卷积实质上是其相应的周期序列的周期卷积取主值序列； 序列的长度必须等长为N，不足补零，得到的序列长度也为N。,2019/5/26,14,例 设有两个序列 (1,2,3,4,5,0) 和 (0,0,1,1,1,1) ，试求它们的6点圆周卷积和。,15,5、圆周卷积和,(2) 圆周卷积定理,时域卷积定理,时域的卷积对应频域的乘积,频域卷积定理,时域的乘积对应频域的卷积,16,6、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,问题提出：,实际需要： LTI系统响应 y(k) = x (n)h(n),可否利用DFT计算线性卷积？,(1) 线性卷积,yl (n) 的长度为 N = N1 + N2 - 1,17,6、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,(2)圆周卷积,假设进行L点的圆周卷积， LmaxN1, N2,18,6、有限长序列的线性卷积与圆周卷积,(2)圆周卷积,周期延拓不发生混叠，圆周卷积能够代表线性卷积；,周期延拓发生混叠，圆周卷积不能代表线性卷积。,L点圆周卷积 y(n)是线性卷积yl(n)以L为周期进行周期延拓的主值序列。,2019/5/26,19,例3-2-8,x1(n)=1,1,1; x2(n)=1,2,3,4,5，求y0(n)= x1(n)* x2(n); y1(n)= x1(n)x2(n); y2(n)= x1(n)x2(n); y3(n)= x1(n)x2(n); y4(n)= x1(n)x2(n);,2019/5/26,20,2019/5/26,21,2019/5/26,22,式中，X(k) 是 x(n) 的10点DFT，求序列 y(n)。 (3) 若10点序列 z(n)的10点DFT是 Z(k) = X(k) W(k) ,其中 X(k)是序列 x(n)的10点DFT，W(k)是序列 w(n)的10点DFT，且 w(n) = R7 (n)，求序列 z(n)。,例3-2-9一个有限长序列为 x (n) = (n) + 2 (n - 5) (1) 计算序列 x (n) 的10点DFT。 (2) 若序列 y (n) 的DFT为,2019/5/26,23,解,(2) X(k)乘以一个WN-mk形式的复指数相当于是x(n)圆周移位 m 点。,y(n) = x(n+2)10R10(n) = 2 (n-3) + (n-8),(1) x(n)的10点DFT,这里 m=2，x(n)向左圆周移位了2点， 就有,2019/5/26,24,(3) 由时域圆周卷积定理可知，z (n) = x (n) N w (n),x(n)与 w(n)的线性卷积 zl(n)为,zl(n) = x(n) * w(n) = (n) + 2 (n - 5) * R7 (n),=1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2,= R7 (n) + 2R7 (n - 5),圆周卷积为,2019/5/26,25,所以10点圆周卷积为 z(n)=3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2,26,相关函数在形式上与卷积相似，它也是时域中描述信号特征的一个重要方法，用于描述随机信号的统计特性，分析随机信号的能量谱或功率谱，有时也利用它对确定信号进行分析。,分析相关函数时，研究的对象通常都是能量信号或功率信号。,(1) 线性相关,7、圆周相关定理,27,互相关函数,当 x (n) y (n) 时， rxy(m) ryx(m),自相关函数,rxy(m) = ryx*(-m),rxx(m) = rxx*(-m),7、圆周相关定理,28,线性相关与线性卷积的关系：,相同点：两种运算都包含位移、相乘、求和三个步骤。,不同点：相关函数的移位信号不需要“反转”。,7、圆周相关定理,29,相关函数的 z 变换,令 n - m = i,(2) 线性相关的 z 变换与DTFT,7、圆周相关定理,30,由于,故有,根据 z 变换与DTFT的关系，代入 z = e j ，可得,显然有,7、圆周相关定理,31,圆周相关,圆周相关定理 若 R x y (k) = X (k) · Y *(k)，则 r x y (m) = IDFT R x y (k),(3) 圆周相关,7、圆周相关定理,32,fft(x) fft(x,N) ifft(x) ifft(x,N),fft(x) 计算M点的DFT。M是序列x的长度。,fft(x,N) 计算N点的DFT。 MN，将原序列裁为N点计算N点的DFT； MN，将原序列补零至N点，然后计算N点DFT。,MATLAB实现,2019/5/26,33,例： 利用MATLAB计算16点序列xk的512点DFT。,34,习题3-8 3-11 3-12 3-16(1)-(6) 3-19,作业:,