数字信号处理 教学课件 ppt 作者 钱同惠 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法,6.1 数字滤波器的基本概念,1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：,(6.1.1),(6.1.2),图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,2数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示：,图6.1.2 低通滤波器的技术要求,通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：,(6.1.3),(6.1.4),如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：,(6.1.5),(6.1.6),3. 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。,6.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性,1.模拟低通滤波器的设计指标 及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,(6.2.1),(6.2.2),如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图6.2.2表示。图中c称为3dB截止频率，因,(6.2.3),(6.2.4),图6.2.2 低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,(6.2.5),2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：,(6.2.6),图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,(6.2.7),此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,(6.2.8),图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。 Ha(s)的表示式为,设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(6.2.10),(6.2.11),式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,(6.2.12),将=s代入(6.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入 (6.2.4)式中，得到：,(6.2.14),(6.2.15),由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：,令,则N由下式表示：,(6.2.16),用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：,由(6.2.15)式得到：,(6.2.17),(6.2.18),总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。,(2) 按照(6.2.12)式，其极点为,按照(6.2.11)式，归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878; -1.0000,式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(6.2.17)式，得到：,将c代入(6.2.18)式，得到：,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示：,(6.2.19),图6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性,式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为,当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x； 当N=2时，C2(x)=2x 21； 当N=3时，C3(x)=4x 33x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20),图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。,图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹用下式表示：,(6.2.21),因此,(6.2.22),图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定：,(6.2.23),令s=s/p，由s1，有,(6.2.24),(6.2.25),可以解出,3dB截止频率用c表示，,按照(6.2.19)式，有,通常取c1，因此,上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,(6.2.26),以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,(6.2.23),令s=s/p，由s1，有,(6.2.24),(6.2.25),上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,(6.2.26),设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,(6.2.27),式中,(6.2.28),(6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即,(6.2.32),式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式 可导出：c=·2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的 传输函数为,(6.2.33a),按照以上分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。 1) 确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数，它们为,去归一化后的传输函数为,(6.2.33b),(6.2.34),(6.2.35),这里p就是前面定义的通带波纹，见(6.2.21)式。归一化频率 2) 求滤波器阶数N和参数 由(6.2.19)式，得到：,将以上两式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：,令,(6.2.36),(6.2.37),这样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数。 按照(6.2.22)式求，这里p=。 +2=10 0.11 3) 求归一化传输函数Ha(p) 为求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出归一化极点pk,k=1,2,:,N。,将极点pk代入(6.2.33)式，得到：,4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即,(6.2.38),(6.2.39),例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解 (1) 滤波器的技术要求：,(2) 求阶数N和：,(3) 求Ha(p):,由(6.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到：,(4)将Ha(p)去归一化，得到：,4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 1) 低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换：,(6.2.41),(6.2.40),图6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性,模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： 低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。,(3)设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(6.2.40)式，转换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q)中，得 例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,(6.2.42),解 高通技术要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率,低通技术要求：, 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故, 求模拟高通H(s)： 2) 低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图6.2.10所示。,图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性,表6.2.2 与的对应关系,由